- •1. Аналіз поняття множини. Потужність множини. Зчисленні множини та їх властивості. Множини натуральних чисел n, цілих z, раціональних q, та дійсних чисел r, їх потужність.
- •2. Множина дійсних чисел r, її властивості. Поняття верхньої і нижньої граней числової множин, їх існування і властивості. Теорема Кантора.
- •3. Границя послідовності. Основні теореми про збіжність послідовностей. Границя обмеженої монотонної послідовності. Число е. Границя послідовності в метричному просторі.
- •4. Поняття функції. Способи задання функцій. Функції n дійсних змінних та комплексної змінної. Поняття функції в школі.
- •Словесний.
- •6. Неперервність функції в точці і на відрізку. Неперервність функції кількох змінних та функцій комплексної змінної. Поняття рівномірної неперервності.
- •7. Основні теореми про неперервність функції
- •8. Розвиток поняття степеня. Степенева ф-я в дійсній та комплексній області /означення, властивості/. Степенева ф-я в школі.
- •9. Показникові ф-я дійсній та комплексній змінної (означення, властивості). Показникові ф-я в школі.
- •10. Логарифмічна ф-ія дійсної та комплексної змінної (означення, властивості). Розклад її в степеневий ряд. Логарифмічна ф-ія в школі.
- •13. Похідна ф-ії комплексної змінної. Умови диференційовності. Аналітичні ф-ії.
- •14. Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші.
- •15.Екстремуми ф-ції. Опуклість і точки перегину. Асимптоти.
- •16. Первісна та її властивості, невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування.
- •17. Визначений інтеграл та умови його існування. Формула Ньютона-Лейбніца, вивчення інтеграла в школі.
- •1. Задача про обчислення площі кривої трапеції.
- •2. Задача з механіки.
- •19. Поняття метричного простору. Повні метричні простори.
- •20. Теорема Банаха про стискуючі відображення та її застосування.
- •21. Числові ряди з дійсними та комплексними членами, основні поняття. Необхідна умова збіжності. Геометрична прогресія та гармонічний ряд. Властивості збіжних рядів.
- •22.Ознаки збіжності рядів з додатними членами. Ряди з довільними членами, їх абсолютна та умовна збіжність, властивості.
- •23. Степеневі ряди з дійсними та комплексними членами. Абсолютна збіжність. Інтервал та радіус збіжності.
- •25.Застосування інтегрального числення до розв-ня задач геометрії і фізики.
- •1. Площа фігури.
- •26. Обернені тригонометричні функції дійсної та комплексної змінної (означення, властивості).
- •27. Означення поняття теорії диференц. Рівнянь: порядок, розв’язок, загальний розв’язок, інтегральна крива, початкові умови, задача Коші.
- •28. Диф. Рівняння з відокремлюваними змінними, лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до них.
- •30. Лінійні диф. Рівняння вищих порядків із сталими коефіцієнтами та їх застосування до вивчення коливних процесів.
19. Поняття метричного простору. Повні метричні простори.
Озн. Непорожня множина Х елементів довільної природи наз. метричним простором, якщо будь-яким двом елементам х,у є Х поставлено у відповідність невід’ємне число , яке задовольняє таким умовам
1. =0 тоді коли х=у,
2. = ,
3. , х,у,z є Х
Елементи множини Х наз точками метричного простору, а дійсне число відстанню між елементами х і у. Метричний простір позначають . Приклади метричних просторів. 1. Множина дійсних чисел з відстанню =/х-у/ є метр. простір, який позначають або . 2. М-на n-вимірних векторів з дійсними координатами де , є метрич. простором ,який наз n- вимірним евклідовим простором .
Доведемо третю властивість. Для доведення скористаємось нерівністю Коші , яка правильна для будь-яких дійсних чисел . Справді поклавши внерівність Коші знайдемо
Звідси .
Озн. Точку довільного метрич. простору R наз границею послідовності точок цього метричного простору і записують або , якщо .
Озн. Послідовність точок (к=1,2…) метричного простору R наз фундаментальною, якщо для будь-якого числа існує натуральне число , якщо для всіх к і , тобто .
Озн. Метричний простір R наз. повним якщо в ньому кожна фундаментальна послідовність має границю.
Доведемо напр.. простору . Нехай послідовність векторів є фундаментальна тоді для будь-якого існує натуральне число таке, що для всіх . Звідси для кожного і=1,2.., маємо , для всіх , .Згідно з критерієм Коші збіжна послідовність дійсних чисел робимо висновок що для кожного фіксованого і=1,2.. числова послідовність збіжна і має границю Числа є . Отже простір повний.
20. Теорема Банаха про стискуючі відображення та її застосування.
Якщо оператор стиску U відображає повний метричний простір у себе то він має єдину нерухому точку , яку можна дістати методом послідовних наближень при будь-якій початковій точці є .
Д-ння: Нехай - довільна фіксована точка простору послідовність фундаментальна. Справді
Якщо то скориставшись аксіомою трикутника маємо:
Для числа існує натуральне число таке, що , викон. нерівність (1) це озн. що послідовність фундаментальна. Оскільки метрич простір повний то існує границя і є . Доведемо що нерухомою точкою оператора U тобто . Справді якщо в силу єдності границі маємо . Доведемо що єдина нерухома точка . Припустимо і дві різні нерухомі точки оператора U. Тоді Звідси з нерівності дістанемо . Отже . Цим доведено єдність нерухомої точки.
21. Числові ряди з дійсними та комплексними членами, основні поняття. Необхідна умова збіжності. Геометрична прогресія та гармонічний ряд. Властивості збіжних рядів.
Нехай дано нескінченну послідовність чисел
Вираз – називається рядом, а числа – членами цього ряду.
Коротше, ряд записується так: , загальний член ряду.
Ряд вважається заданим, якщо відоме правило, за яким для будь-якого n можна записати відповідний член ряду: , ,
називаються частковими сумами. Часткові суми утворюють деяку числову послідовність .
Ряд називається збіжним, якщо збігається послідовність його часткових сум, тобто, якщо існує часткова границя:
Число S називається сумою ряду і записують: або
Якщо ж послідовність часткових сум розбігається, то ряд наз. розбіжним. Таким чином, дослідження збіжності ряду з дійсними членами зводиться до дослідження збіжності деякої послідовності – послідовності його часткових сум.
Аналогічно вводиться поняття числового ряду з комплексними членами.
Нехай задана послідовність компл. чисел . Сума виду (1) – називається рядом компл. чисел.
Суми виду – називаються частковими сумами.
, ,
Необхідна і достатня умова збіжності ряду(1) є збіжність рядів (2) і (3)
Тоді ряд (1) буде подаватися у вигляді:
Якщо збігається (4), то й збігається (1).
Отже, дослідження на збіжність ряду з компл. членами зводиться до дослідження на збіжність 2-ох рядів з дійсними членами.
Необхідна умова збіжності ряду з дійсними членами: якщо ряд збігається, то його n-й (загальний член ) при , тобто
Властивості збіжних рядів:
1. ,с=const (c≠0) Якщо ряд збіжний (розбіжний), то і також.
2. Якщо ряд (1), (2) збіжні (розбіжні), то і (3) також.
3. Приписування або відкидання скінченного числа членів ряду не впливає на його збіжність (розбіжність).
Ряд виду – називається геометричною прогресією, число q – її знаменником. Геометрична прогресія збігається лише тоді, коли знаменник
Слід пам’ятати, що прямування загального члена ряду до нуля не є достатнім для збіжності ряду:
Розглянемо ряд: , який назив. гармонічним.
Тут , але ряд розбіжний. Даний ряд назив. еталоном розбіжного ряду.