- •1. Вектори у трьохвимірному евклідовому просторі. Векторний метод розв’язування геометричних задач.
- •2. Система координат у просторі. Найпростіші задачі координатної геометрії.
- •3. Скалярний добуток векторів. Застосування скалярного добутку векторів до розв’язування задач.
- •4. Векторний добуток векторів. Застосування векторного добутку до розв’язування задач.
- •6.Різні способи задання прямої лінії на площині.
- •7. Циліндричні поверхні.
- •8.Група рухів (переміщень) площини. Застосування рухів до розв’язування задач. Приклади.
- •9. Класифікація рухів. Розклад рухів у добуток осьових симетрій.
- •10. Група перетворень подібності площини та її підгрупи. Застосування перетворень подібності до розв’язування задач.
- •11. Група афінних перетворень площини і її підгрупи. Застосування афінних перетворень до розв’язування задач.
- •12. Загальне рівняння лінії другого порядку і її зведення до канонічного вигляду. Класифікація ліній другого порядку на евклідовій площині.
- •13. Різні способи задання площини у просторі (в аналітичному вигляді). Взаємне розміщення 2-х площин. Кут між площинами.
- •14. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі. Кут між прямою і площиною.
- •15. Різні способи задання прямої у просторі. Взаємне розміщення 2-х прямих у просторі.
- •16. Проективна площина та її моделі, подвійне відношення 4-ох точок прямої. Гармонійні четвірки точок. Гармонійні вл-сті повного 4-ох вершинника.
- •17. Група проективних перетворень площини. Застосування проективних перетворень до розв-ня задач.
- •18. Паралельна проекція. Зображення плоских і просторових фігур в паралельній проекції.
- •19. Основні позиційні та метричні задачі на проекційному малюнку. Приклади.
- •21.Многокутники на евклідовій площині, площа многокутника. Теорема існування ієдиності.
- •22. Конічні поверхні і їх властивост і
- •23. Основні конфігураційні теореми і їх застосування до розв’язання задач.
- •24. Поняття лінії і гладкої кривої в евклідовому просторі, їх параметризація за допомогою вектор-функцій. Кривина та скрут кривої
- •25. Поняття поверхні в евклідовому просторі. Гладкі поверхні і їх параметризація. Перша квадратична форма і її застосування.
3. Скалярний добуток векторів. Застосування скалярного добутку векторів до розв’язування задач.
Означення. Кутом між двома ненульовими векторами називають кут між відповідними їм напрямленими відрізками, які виходять з однієї точки.
Від вибору цієї точки міра розглядуваного кута не залежить. Вважають, що кут між протилежно напрямленими векторами дорівнює 180°, а між співнапрямленими — 0°.
Тепер введемо поняття скалярного добутку двох векторів простору.
Означення. Скалярним добутком двох векторів називається добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними.
Якщо кут між векторами і дорівнює φ, то їх скалярний добуток
Якщо хоч один з векторів або нульовий, то
Приклад застосування скалярного добутку векторів відомий з Фізики. Механічна робота А, яку виконує стала сила при переміщенні , дорівнює скалярному добутку даних векторів:
Застосовується це поняття і в геометрії. З означення скалярного добутку векторів випливає, що відрізки перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли скалярний добуток векторів дорівнює нулю
(ознака перпендикулярності векторів). Важливі й інші наслідки. Щоб користуватися ними, треба знати властивості скалярного добутку векторів.
Теорема 26. Скалярний добуток векторів дорівнює
Доведення. Відкладемо дані вектори і від початку координат. Їм відповідають напрямлені відрізки і , кінці яких і . Якщо дані вектори не колінеарні, то — трикутник. За теоремою косинусів
звідки
(*)
Виразимо квадрати довжин векторів через їх координати:
Тому
Співвідношення (*) справедливе і для кутів φ, що дорівнюють 0° або 180°. Адже у першому з цих випадків
а у другому
Отже, теорема, яку доводимо, справедлива і для колінеарних векторів. Завжди
Задачі. 3найдіть кут між векторами і
Доведіть, що трикутник з вершинами в точках А(2;1;3), В(7;4;5) і С(4;2;1) прямокутний.
4. Векторний добуток векторів. Застосування векторного добутку до розв’язування задач.
Розглянемо у просторі 2 вектори . Векторним добутком 2-х векторів назив. вектор, який позначається так: і задовольняє наступні умови:
–однаково орієнтовані.
Теорема: якщо дано 2 вектори
, то
.
Дов.: Нехай , тоді із за умови 2 означення позначивши координати вектора маємо:
(1), отримавши однорідну с-му 2-х рів-нь і 3-х невідомих, с-ма має безліч розв’язків.
. Знайдемо параметр , для цього скористаємося 3-ю умовою означення. Оскільки однаково орієнтовані то визначник матриці переходу від базису
, розкладемо визначник по елементам 3-го рядка:
, замість , підставимо їхні значення:
Скористаємося 1-ю умовою:
Знайдемо іншим шляхом
, зробивши відповідні перетворення під знаком кореня у першому і другому випадку отримаємо той самий вираз
Властивості:
– не комутативний.
– дистрибутивний закон
Добуток 2-х ненульових векторів =0 тоді і тільки тоді коли вектори колінеарні.
Якщо один з векторів є 0-вектор, то векторний добуток =0.
Застосування векторного добутку:
Для обчислення кута між векторами.
Для доведення колінеарності двох векторів.
Для обчислення площі паралелограма.
Для обчислення площі трикутника.
Для обчислення моменту сили у фізиці.
5. Мішаний добуток векторів. Застосування мішаного добутку векторів до розв’язування задач.
Розглянемо 3 вектори:
Мішаним добутком 3-х векторів взятих в такому порядку назив. скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів . Мішаним добутком 3-х векторів є число.
Т: Якщо , то мішаний добуток векторів .
Доведення: обчислимо спочатку векторний добуток:
.
Вл. випливають із вл. визначників:
Сталий множник можна винести за знак мішаного добутку
Мішаний добуток дистрибутивний
.
Мішаний добуток 3- ох ненульових векторів =0 тоді і тільки тоді коли вектори є компланарними.
Модуль мішаного добутку чисельно = об’єму паралелепіпеда побудованого на даних векторах як на ребрах.
Застосування:
для доведення компланарності векторів
для обчислення об’єму паралелепіпеда.
для обчислення об’єму тетраедра