2)Теорема

Если прямая перпендикулярна к двум пере­секающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпенди­кулярна к этой плоскости.

Доказательство

Р ассмотрим прямую а, которая перпендикулярна к прямым p и q, лежащим в плоскости ά и пере­секающимся в точке О. Докажем, что а ά. Для этого нужно доказать, что прямая а перпендикулярна к произ­вольной прямой m плоскости ά.

Рассмотрим сначала случай, когда прямая а проходит через точку О. Проведем через точку О прямую l, парал­лельную прямой m (если прямая m проходит через точку О, то в качестве l возьмем саму прямую m). Отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости а прямую, пересекающую прямые p, q и l соответственно в точках Р, Q и L. Будем считать для определен­ности, что точка Q лежит между точками Р и L.

Так как прямые p и q — серединные перпендикуляры к отрез­ку АВ, то АР = ВР и AQ = ВQ. Следовательно, АРQ= ВРQ по трем сторонам. Поэтому АРQ= ВРQ.

Сравним теперь треугольники АРL и ВРL. Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР= ВР,PL—общая сторона, АРL— ВРL), поэтому АL — ВL. Но это означает, что тре­угольник АВL равнобедренный и его медиана LO является высо­той, т. е. l а. Так как l||т и l а, то т а (по лемме о перпен­дикулярности двух параллельных прямых к третьей). Таким обра­зом, прямая а перпендикулярна к любой прямой т плоскости ά, т. е. а ά.

Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую а₁, параллельную пря­мой а. По упомянутой лемме а₁ р и а₁ q, поэтому по доказан­ному в первом случае а₁ ά. Отсюда (по первой теореме п. 16) следует, что а ά.

Теорема доказана.

Билет№15

1)Пирамида. Рассмотрим многоугольник А₁А₂...А_n и точку Р, не лежащую в плоскости этого м ногоугольника. Соединив точку Р отрезками с вершинами многоугольника, получим п треуголь­ников:

РА₁А₂, РА₂А₃, ..., РА_пА₁. (1)

Многогранник, составленный из n-угольника А₁А₂...А_n и n тре­угольников (1), называется пирамидой. Многоугольник А₁А₂...А_n

называется основанием, а треугольники (1) — боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА₁, РА₂, ..., РА_n — ее боковыми ребрами. Пирамиду с основа­нием А₁А₂...А_n и вершиной Р обозначают так: РА₁А₂...А_n— и называют n-угольной пирамидой. На рисунке изображены четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треуголь­ная пирамида — это тетраэдр.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плос­кости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке отрезок РН — высота пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т. е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды — сумма площадей ее боковых граней. Очевидно,

Sполн=Sбок+Sосн (2)

Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный м ногоугольник, а отрезок, со­единяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Докажем, что вес боковые ребра правильной пирамиды рав­ны, а боковые грани являются равными равнобедренными тре­угольниками.

Рассмотрим правильную пирамиду РА₁А₂...А_n. Сна­чала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны.

Л юбое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного тре­угольника, одним катетом которого служит высота РО пирамиды, а дру­гим — радиус описанной около основа­ния окружности (например, боковое ребро РА₁ — гипотенуза треугольни­ка ОРА₁, в котором ОР = Н, ОА₁=R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно , поэтому РА₁=PA₂ = ... = PA_n.

Мы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды PA₁A₂...A_n рав­ны друг другу, поэтому боковые гра­ни — равнобедренные треугольники.

Основания этих треугольников также равны друг другу, так как А₁А₁…А_n — правильный многоугольник. Следовательно, бо­ковые грани равны по третьему признаку равенства треуголь­ников, что и тре0овалось доказать.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. На рисунке отрезок РЕ — одна из апофем. Ясно, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Докажем теорему о площади боковой поверхности правиль­ной пирамиды.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пи­рамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказательство

Боковые грани правильной пирами­ды - равные равнобедренные треугольники, основания кото­рых — стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произ­ведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель

0,5d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т. е. его периметр.

Теорема доказана