- •Билет№1
- •1) Аксиомы стереометрии и следствия из них.
- •2) Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды
- •Б илет №2
- •Билет№3
- •Билет№4
- •1) Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
- •2) Теорема
- •Билет№5
- •2) Понятие
- •Билет№6
- •2) Теорема
- •Билет№7
- •1) Понятие
- •2)Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
- •Билет№8
- •1)Определение
- •Б илет№9
- •1)Параллельные плоскости
- •Билет№10
- •1)Определение
- •2)Усеченная пирамида
- •Билет№11
- •2)Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
- •Билет№12
- •1) Углы с сонаправленными сторонами.
- •2)Теорема
- •Билет№13
- •2)Теорема
- •Б илет№14
- •1°. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
- •2°. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
- •2)Теорема
- •Билет№15
- •2)Теорема
2)Теорема
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, п ерпендикулярна и к ее проекции.
Доказательство
Допустим прямая а лежит в плоскости ά и перпендикулярна наклонной b, лежащей в плоскости β. Опустим из произвольной точки на прямой b перпендикуляр h к плоскости ά. Поскольку h перпендикулярен к плоскости ά, то он перпендикулярен к любой прямой в этой плоскости, к а в том числе. Отсюда следует, что а перпендикулярна к прямым b и h, поэтому она перпендикулярна ко всей плоскости β.
Так как проекция b на плоскость тоже лежит в плоскости β, то а перпендикулярна b.
Теорема доказана.
Б илет№14
1)Параллелепипед. Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов и ещё четырех параллелограммов, называется параллелепипедом и обозначается так: АВСDА1В1С1D1.
Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда. Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными. Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали. Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми ребрами.
Рассмотрим два свойства параллелепипеда.
1°. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Докажем, например, параллельность и равенство граней АВВ1А1 и DСС1D1 параллелепипеда АВСDА1В1С1D1. Так как АВСD и АDD1A1 — параллелограммы, то AB||DC и AA1||DD1. Таким образом, две пересекающиеся прямые АВ и АА1 одной грани соответственно параллельны двум прямым СD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоскостей следует, что грани ABB1A1 и DСС1D1 параллельны.
Докажем теперь равенство этих граней. Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то АВ=DС и АА1=DD1. По этой же причине стороны углов А1АВ и D1DС соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ1А1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DСС1D1, поэтому эти параллелограммы равны.
2°. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Чтобы доказать это свойство, рассмотрим четырехугольник А1D1СВ, диагонали которого А1С и D1В являются диагоналями параллелепипеда АВСDА1В1С1D1. Так как А1D1||ВС и A1D1=BC, то A1D1СВ — параллелограмм. Поэтому диагонали А1С и D1В пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.
Далее рассмотрим четырехугольник АD1С1В. Он также является параллелограммом, и, следовательно, его диагонали АС1 и D1В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D1В является точка О. Таким образом, диагонали А1С, D1В и АС1 пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.
Наконец, рассматривая четырехугольник А1В1СD ,
точно так же устанавливаем, что и четвертая диагональ DВ1
параллелепипеда проходит через точку О и делится ею пополам.