9. Початки математичного аналізу в профільній школі: похідна

У класах загальноосвітнього профілю П і її застосування вивчаються в 11кл, а в класах мат. профілю – в 10. Мета вивчення: ознайомити учнів із універсальним мат. апаратом дослідження ф-й, як моделей реальних процесів і явищ. Існує 2 підходи до вивчення П: логічний(базується на класичному викладі матеріалу, починаючи від задач, що прив. до пон. П і до застосування П - він реалізований в діючих підручниках) і наочно-інтуїтивний (означенння П вводиться без пон. границі, опора на графічні ілюстрації). Зазвичай поняття П вивчається за такими пунктами: 1) задачі, що приводять до поняття П (про миттєву швидкість, про дотичну) 2) означення П, її геометричний та фізичний зміст (працюючи над означенням поняття П треба розглянути ряд вправ за допомогою яких на основі означення можна виділити алгоритм знаходження П і вправи, на яких цей алгоритм закріпиться) 3) правила диференціювання (теореми про П суми, добутку, частки ф-й) 4) похідні елементарних ф-й 5) похідні складених ф-й, похідні вищих порядків. Методика вивчення застосувань П складається з таких етапів: 1)проміжки зростання-спадання ф-ї; 2)критичні точки, точки мін і макс. ф-ї; 3) екстремуми функції, правила дослідження ф-ї на екстремум; 4)знаходження найбільшого і найменшого значення ф-ї. На даних етапах дуже важливим є алгоритмічний підхід, слід дати учням чіткі правила наприклад на дослідження ф-й на екстремуми, знаходження найб. і найм. значення ф-ї в точці. Іноді розглядають опуклість і вгнутість кривої, точки перегину. Потім подають загальну схему дослідження ф-ції за допомогою П. Вивчається також застосування П у фізиці і техніці, зокрема розглядаються задачі на оптимізацію (знаходження найб. і найм значень).

Основні напрямки пропедевтики поняття П: 1)вивчення лінійної ф-ї (слід закцентувати увагу учнів на розумінні коефіцієнта k як tg кута нахилу графіка лінійної ф-ї до + напрямку осі Ох); 2)з’ясування змісту понять ∆х, ∆у, ∆у/∆х, і тлумачення ∆у і ∆у/∆х як ф-й від х; 3)з’ясування суті поняття границі ф-ї в точці(це число) і ідей граничного переходу; 4) засвоєння знань про дотичну(спочатку цей матеріал розглядають в геометрії(дотична до кола). Далі це поняття узагальнюється як дотична до незалежної кривої. Вводиться поняття січної, і дотична тлумачиться як граничне положення січної. Важливу роль тут має відігравати наочність; 5)вивчення у фізиці рівномірного та нерівномірного руху, понять середньої та миттєвої швидкості.

10 Початки математичного аналізу у профільній школі: первісна та інтеграл.

У курсі алгебри і початків аналізу далі розвиваються основні змістові лінії курсу алгебри і завершується розробка аналітичного апарату, що застосовується в предметах природничо-математичного циклу. Чималу частину цього курсу становлять початки диференціального та інтегрального числення, які завершують у шкільному курсі вчення про функцію. Поняття про методи диференціального та інтегрального числення відкривають широкі можливості для застосування математики в різних галузях науки і практики, формують науковий світогляд, дають можливість складати і розв’язувати моделі задач, що характеризують різноманітні процеси.

Під час вивчення курсу алгебри і початків аналізу є широкі можливості для реалізації між предметних зв’язків. У геометрії, зокрема, похідна та інтеграл використовується для обчислення об’ємів і розв’язування задач на найменші і найбільші значення геометричних величин.

У фізиці похідна та диференціальні рівняння використовується під час вивчення явищ радіоактивного розпаду.

Дана тема вив-ся в 11кл після вив-ня теми “пох-на та її заст-ня”. На вив-ня цієї теми програма відводить майже в половину менше часу ніж на пох. Осн.мета вивч.теми: розглянути операцію, обер.до оп-ї дифер-ня, ввести поняття первісної та інтегала; показати заст-ня інтеграла до обчислення площ кривол.трапецій і об’ємів найпростіших тіл обертання(в геометрії). Введення первісної варто починати з того, що кожна дія(операція), яка вивчалась у шкільному курсі має до себе обернену. Основною операцією дифер.числення є оп-я відшукання похідної f^/ даної ф-ції f. Але при роз-ні задач з фізики, геометрії доводиться виконувати обернену операцію, т.т за відомою похідною ф-ї обчислювати саму ф-ю. Таку ф-цію наз.первісною. Це можна показати на такому прикладі: знайти ф-ю, похідна якої дорів.x². учні самі мають назвати таку ф-ю. Потім слід задати таке пит-ня: чи існують ще ф-ї, похідні яких дорів.x².(учні мають наводити приклади).тоді робиться висновик про те, що існує безліч ф-й, пох-ні яких = x². Мнж-ну всіх первісних записують у вигляді F(x)+C, де C-довільна стала. Цей вираз наз.заг.виглядом первісної. Доцільно було б щоб учні користуючись таблицею похідних самі заповнили таблицю первісних. Властивості первісної:1)якщо ф-я F(x) є первісною для f(x), то і ф-я F(x)+C теж буде пер-ю для ф-ї f(x) 2) будь-які 2 первісні для тієї самої ф-ї різняться між собою лише одним доданком. Правила знах-ня пер-ї:1якщо F(x) є пер-ю для f(x), а G(x) для g(x), тоF(x)+G(x) є пер-ю дляf(x)+g(x) 2Якщо F(x) є пер-ю для f(x)а k-стале число, то kF(x)-пер-на для kf(x). 3якщо F(x) є пер-ю для f(x), а k і b-сталі числа, причому k не =0, то 1/k*F(kx+b ) є пер-ю для f(kx+b).

У діючій програмі і шкіл.під-х прийнято традиційний підхід до введення поняття інтеграла у звязку із задачею про площу кривол.тр-ї. Потім на основі цієї задачі вводиться означення інтеграла, вказуються де межі інт-ня, підінтегр.вираз, змінні інтегрування. Доцільно підкреслити геометричний зміст інт-ла: це площа крив.тр-ї, обмеженої графіком ф-ї y=f(x), відрізком <a:b> осі Ох і прямими x=a, x=b. Доцільно звернути увагу учнів на те, що безпосередньо за озн-м інт-ли легко обч-ти лише для найпростіших ф-й, але з ускладенням ф-ї стаєскладним і обч-ня. Тому існує універ.ф-ла Ньютона−Лейбніца