18.Координати і вектори в просторі: основні поняття та факти, розв’язування основних типів задач; координатний і векторний методи.

Векторомназ величину, яка характеризується не тільки своїм числовим значенням (довжиною), але й напрямком. Нульовим векторомназ вектор, початок і кінець якого співпадають. Такий вектор позначають , його довжина дорівнює нулю, а напрям – довільний. Рівниминаз вектори, які мають однакові довжини та напрямки: .

Координатаминаз проекції вектора на осі координат. Координати вектора дор різниці відповідних координат кінця та початку вектора. Дві взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (точка 0) називають прямокутною декартовою системою координат на площині (у двомірному просторі Е₂).Проекцією вектора на вісь із знаком «-», якщо напрями протилежні

1. Дано точки A(1;-3; 0) і В (4; 2; 3). Знайдіть координати вектора і його модуль.

2. В изначтенапрямрухутіла (всісили, щодіють на тіло, позначено в певномумасштабі). На тілодіютьсили: земноготяжіння, реакції опори, тертя.Знайдемонапрямрівнодійноїсили. (тілорухається вниз)

Векторний метод розв’язання стереометричних задач пов’язаний з використанням властивостей векторів. Розв’язуючи задачу векторним методом, спочатку подані в задачі співвідношення перекладають на “мову векторів”, і, нарешті, від мови векторів знову переходять до мови геометрії.

Якщо, розв’язуючи геометричну задачу оперують координатами окремих точок, рівняннями ліній або поверхонь, то використовують координатний метод.

Координатний метод часто поєднують з векторним, розглядаючи вектори, задані своїми координатами.

19.Геометричні перетворення в просторі: основні поняття і факти; рухи та перетворення подібності в просторі; метод геометричних перетворень.

Поняття перетворення для фігур у просторі означають так само, як і на площині.

Рухом називається перетворення, при якому зберігаються відстані між точками. Властивості руху в просторі:Прямі переходять у прямі, півпрямі — у півпрямі, відрізки — у відрізки, кути між півпрямими зберігаються, площина переходить у площину.Зразки рухів у просторі:Симетрія відносно точки; симетрія відносно прямої; симетрія відносно площини (аналогічна симетрії відносно прямої).

Паралельним перенесенням у просторі називається таке перетворення, при якому довільна точка   переходить у точку  , де числа a, b, c — одні й ті самі для всіх точок .Паралельне перенесення є рухом. У результаті паралельного перенесення точки зміщуються вздовж паралельних прямих (або прямих, що збігаються) на одну й ту саму відстань. 1. У результаті паралельного перенесення кожна пряма переходить у паралельну їй пряму (або в себе). 2. Які б не були точки А і А’, існує єдине паралельне перенесення, у результаті якого точка Апереходить у точку . 3. У результаті паралельного перенесення в просторі кожна площина переходить або в себе, або в паралельну їй площину.

Подібність просторових фігур

Перетворення фігури F називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюють себе в одну й ту саму кількість разів.Як і на площині, перетворення подібності в просторі переводить прямі у прямі, півпрямі у півпрямі, відрізки у відрізки і зберігає кути між півпрямими. Перетворенняподібності переводить площини у площини.Аналогічногомотетії на площинівизначається гомотетія в просторі.Гомотетія є перетвореннямподібності.Перетвореннягомотетії у просторі пере водить довільнуплощину, яка не проходить через центр гомотетії, у паралельнуплощину .