2) Необходимый признак экстремума

Теорема:

Если функция имеет в точке экстремум, то производная в этой точке либо равна нулю либо не существует

Доказательство:

Пусть существует , если в точке - максимум, то для достаточно малой окрестности имеет наибольшее значение в этой окрестности, по теореме Ферма

Согласно теореме точки экстремума могут быть лишь в тех внутренних точках, где производная не существует или равна нулю. Такие точки называются подозрительными на экстремум. Точки в которых производная равна нулю называются стационарными.

Не во всякой подозрительной на экстремум точке есть экстремум.

3) Достаточные признаки эктремума

Теорема 1 (первый достаточный признак экстремума):

Пусть - внутренняя точка обл определения и непрерывна в , тогда:

1. Если при переходе через , меняет знак с плюса на минус (т.е. ), то в - строгий максимум;

2. Если при переходе через , меняет знак с минуса на плюс, то в - строгий минимум;

3. Если при переходе через , не меняет знак, то экстремума в нет, т.е. функция в монотонна.

Требование непрерывности в упускать нельзя, т.к. в этом случае утверждение может оказаться несправедливым.

При разыскивании экстремумов, исследование знака производной вблизи исследуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной вблизи самой этой точки.

(27)Экстремумы функции: достаточные признаки.

Теорема 1 (первый достаточный признак экстремума):

Пусть - внутренняя точка обл определения и непрерывна в , тогда:

1. Если при переходе через , меняет знак с плюса на минус (т.е. ), то в - строгий максимум;

2. Если при переходе через , меняет знак с минуса на плюс, то в - строгий минимум;

3. Если при переходе через , не меняет знак, то экстремума в нет, т.е. функция в монотонна.

Требование непрерывности в упускать нельзя, т.к. в этом случае утверждение может оказаться несправедливым.

При разыскивании экстремумов, исследование знака производной вблизи исследуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной вблизи самой этой точки.

Теорема 2 (второй достаточный признак экстремума):

Если - внутренняя точка обл определения , производная , тогда при - строгий минимум, а - строгий максимум точку

Доказательство:

Пусть , т.к. строго возрастает в и т.к. , то при переходе функция меняет знак с минуса на плюс, а это согласно теореме 1 означает, что в точке - минимум.

Теорема 3 (третий достаточный признак экстремума):

Пусть - внутренняя точка обл определения, , а и конечна, тогда:

1. Если n – нечет, то экстремума в точке нет: функция строго возрастает, если и строго убывает если ;

2. Если n – чет, то в точке есть экстремум: строгий максимум, если и строгий минимум, если

Доказательство:

Применим для функции формулу Тейлора до n-2 порядка с остаточным членом в форме Лагранжа: согласно условию 1 остается только

Рассмотрим случаи:

а) n – нечет, тогда возрастает, т.е. поэтому при и следовательно

- чет строго возрастает в

б) n – чет, - нечет. Пусть при а при и учитывая, что - минимум. В случае - строгий максимум

Из трех признаков - первый самый сильный, в том смысле что когда второй и третий дают ответ, он тоже дает ответ, в то время, когда есть случаи когда первый признак применим а второй и третий нет.

Пример:

а)

Экстремум есть в точку = минимум

б) при

в точке для сущ все производные причем все они равны нулю

(28)Направление вогнутости графика функции: достаточные признаки направления вогнутости.

1) Рассмотрим функцию y=f(x). Пусть - внутренняя точка области определения, и существует конечная , тогда существует касательная в точке и уравнение касательной имеет вид:

Определение1: Если точки графика при лежат в верхней (нижней) относительно касательной, полуплоскости, то говорят, что график в направлен вогнутостью вверх (вниз). Если же с одной стороны от точки графика лежат в верхней полуплоскости, а с другой стороны в нижней, то в точке график имеет перегиб.

Определение 2: Введем вспомогательную функцию В точке r(x)=0. В остальных разность между точкой графика и касательной, если r(x)>0 то вогнутость вверх.

Определение 1': График функции в направлен вогнутостью вверх, если r(x) имеет в точке минимум, и вогнутостью вниз, если в максимум, и в точке будет перегиб, если r(x) монотонно возрастает (убывает).

2) Признаки направления вогнутости и точек перегиба графика функции.

Теорема1: (первый достаточный признак направления вогнутости)

Если: 1) строго возрастает в , то в вогнутость строго вверх

2) строго убывает в , то в вогнутость строго вниз .

Док-во: По условию, случай 1 при переходе через меняет знак с минуса на плюс, а в самой r(x) в имеет минимум => (по определению ) означает вогнутость строго вверх.

Теорема2: (второй достаточный признак направления вогнутости)

Если , то в вогнутость строго вверх, если - строго вниз.

Док-во: Пусть строго возрастает в , по теореме1.

Теорема3: (третий достаточный признак)

Если , а и конечна, то при n- нечетном, в точке строгий перегиб, а при n- четном график направлен вогнутостью строго вверх, при , вниз при .

Док-во: , , и конечна, тогда согласно теореме (о 3ем дост признаке экстремума) имеем, что при n- нечетном, получаем что r(n)- монотонна, т.е. в строгий перегиб, при n- четном, r(x) имеет экстремум: в минимум, т.е. вогнутость вверх, если , максимум => вогнутость вниз.

(29)Точки перегиба графика функции: необходимый и достаточные признаки.

Теорема4: (необходимый признак точки перегиба)

Если в график имеет перегиб, то или .

Док-во: Возможны 2 случая, либо либо , в последнем случае , т.к. по второму достаточному признаку в график направлен либо вогнутостью вверх, либо вниз, а это противоречит тому, что в перегиб.

Теорема5: (достаточный признак точки перегиба)

Если непрерывна в , а в меняет знак при переходе через , то в график имеет перегиб.

Док-во: По первому признаку экстремума в имеет строгий экстремум => сохраняет один и тот же знак с обеих сторон от , ; по первому признаку экстремума строго монотонна в (т.к. не меняет знак) и по определению в перегиб.