(4) Открытые и замкнутые множества на числовой прямой

1) Определение 1:

Точка называется внутренней для множества E, если принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.

Определение 2:

Множество E называется открытым, если любая его точка является внутренней для этого множества.

Определение 3:

Множество E называется замкнутым, если если оно содержит все свои конечные предельные точки

Есть множества не являющимися ни открытыми ни замкнутыми, есть множества которые одновременно являются и открытыми и замкнутыми.

2) Признаки открытости и замкнутости множеств

Для любого множества E, его дополнением (CE) называется множество , т.е. множество всех точек не принадлежащих E.

Теорема 1:

1. Для того чтобы множество было открытым необходимо и достаточно, чтобы его дополнение CE было замкнутым

2. Для того чтобы E было замкнутым необходимо и достаточно, чтобы CE было открытым

Доказательство:

Пусть E открыто и покажем, что CE замкнуто, тогда любая точка E принадлежит E вместе с некоторой окрестностью, из этого следует, что в этой окрестности нет точек из CE, т.е. все предельные для E точки принадлежат CE отсюда следует, что CE замкнуто.

Теорема 2 (критерий замкнутости множеств):

Доказательство:

E – замкнутое;

1)

2) , т.е. случай 2) места не имеет

рассмотрим последовательность вложенных окрестностей т.к. - предельная для E, то в каждой из этих окрестностей

по (3) точка , т.е. E замкнуто.

(5)Компакт.Критерии компакта.

Определение:

Множество E называется компактом, если из любой последовательности точек этого множества можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в точке из этого же множества

Теорема (критерий компактов):

Для того чтобы множество E было компактом необходимо и достаточно чтобы оно было замкнутым и ограниченным.

Доказательство:

Пусть E – компакт.

Ограниченность:

Пусть Е – неограниченно сверху, тогда , значит из нее нельзя выделить подпоследовательность сходящуюся в точке из Е, отсюда следует что Е – не компакт, получим противоречие, значит Е – ограниченно

Замкнутость:

т.к. Е – не компакт, то можно выделить из последовательности подпоследовательность , которая будет сходится в какой нибудь точке из множества Е, с другой стороны т.к. - предел всей последовательности , получается взяв любую предельную точку для Е, получается что Е – замкнутое

Е – замкнуто и ограниченно , т.к. Е ограниченно ограниченно по лемме Б.Б. из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, но учитывая, что Е – замкнутое по критерию замкнутости

(6)Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях.

1) Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях

Лемма 1:

Если непрерывна на компакте Е, то - тоже компакт

Доказательство:

Рассмотрим и , для каждого из из можно выделить сходящуюся подпоследовательность , а т.к. функция непрерывна на У, то Получаем т.е. множество - компакт

Лемма 2:

Если G – компакт, то - ограниченно, , возьмем последовательность чисел по критерию sup, , но G – замкнуто по критерию замкнутости

Первая, вторая теоремы Вейерштрасса:

Всякая непрерывная на компакте функция: 1) неограниченна на нем

2) достигает на нем свои набольшее и наименьшее значения

Доказательство:

1) Т.к. Е – компакт, то по лемме 1 тоже компакт, т.е. ограниченна

2) По лемме 2 , т.е. есть точка являющаяся sup и есть точка inf

(7)Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора о равномерной непрерывности

Рассмотрим непрерывную на Е, т.е.

Ясно, что для различных точек - различно, если можно подобрать подходящее сразу для всех точек, то функция называется равномерной, непрерывной.

Определение:

Функция называется равномерной, непрерывной на Е, если для любого ,

Ясно, что для любая равномерная непрерывная функция будет и просто непрерывной, такое что ,обратное – не верно.

Пример:

Есть частный случай, когда из непрерывности следует равномерная непрерывность.

Теорема (Кантора о равномерной непрерывности):

Всякая непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нем.

Доказательство:

Фиксируем Пусть не существует для которого бы выполнялись условия равномерной непрерывности

Возьмем последовательность не отрицательных чисел По предположению (1) По лемме Б. Б. из ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность сходящуюся в некоторой точке Будем считать что уже сама последовательность сходится к Т.к. , то В виду того, что - непрерывна а это противоречит тому, что непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна