(24) Признаки монотонности и постоянства функций

1) Теорема1: Если f(x) – непрерывна на <a,b> и , то f(x)=const на <a,b>.

Доказательство: Фиксируем на <a,b>, из <a,b> рассмотрим разность f(x)-f( )=(По формуле конечных приращений Лагранжа)= f(x)=f( ) f ( )=const.

2)Теорема2: Пусть f(x) непрерывна на <a,b>, тогда:

1)Если в (a,b), то f(x) возрастает (убывает) в [a,b]

2)Если в (a,b), то f(x) строго возрастает (строго убывает) в [a,b]

Доказательство: Пусть ; возьмём , (a,b), рассмотрим разность (По формуле конечных приращений Лагранжа)= , так как и , то есть функция возрастает.

Геометрический смысл теоремы 2:

Если , то касательная везде образует положительный (острый) угол с осью Ох, функция идёт вверх (возрастает).

Теорема3: (Необходимый признак монотонности) Если f(x) возрастает (убывает) в и , то .

Доказательство: Пусть f(x) возрастает, если бы , то по Лемме (Если внутренняя точка, то при , функция строго возрастает в , а когда , функция строго убывает) что f(x) строго убывает в , что противоречит условию.

Замечание: Из того, что f(x) строго возрастает в , еще не следует что (может быть ).

(25)Правило Лопеталя

1)При вычислении пределов, встречаются неопределенности разных типов: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) .

Принципиально все эти неопределенности сводятся к ( 1) f(x)+g(x)= = : ) можно рассмотреть один основной случай.

2) Теорема1: Пусть f(x) и g(x) определены на [a,b] , и :

1) конечные

2) g(x) и не равны 0 в точке а

3)

тогда, (1)

Доказательство: Так как и конечны, то функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а, тогда в силу непрерывности и условия 3 имеем , , так как , то в некоторой окрестности точки а так, что отношение = ( )= , получаем что, .

Пример:

=

Если одновременно выполняется что, , то можно воспользоваться теоремой2.

Теорема2: Пусть f(x) и g(x) определены в <a,b> и,

1) конечные производные f(x) и g(x) до n-1 порядка, включительно, в <a,b>

2)

3) ,

4) конечные , , причем

тогда

Доказательство: Применим к каждой из функций f(x) и g(x) в промежутке [a,x] (a<x b) формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, , где - бесконечно малая функция того же порядка, что и . f(x)=f(a)+ + +…+ , согласно 2 и 3 все, кроме последнего члена равно 0 .

, ,так как , то g(x) тоже не равно 0, по крайней мере, в некоторой окрестности точки а, и тогда отношение имеет смысл, тогда .

Пример:

= =0.

, .

, .

, .

Теорема2 фактически говорит о том, что правило Лопеталя можно применять конечное число раз.

Теоремы1 и 2 достаточно для раскрытия неопределенности , но практически удобнее использовать теорему3.

Теорема3: Пусть f(x) и g(x) определены в <a,b>

1) конечные , причем

2) или

3) конечный или бесконечный ,

тогда .

Таким образом, теорема3 сводит предел отношения двух функций к пределу отношения производных, если последние существуют.

Часто оказывается, что нахождение предела отношением производных проще и может осуществляться элементарными методами.

Пример:

1) = = =

2) =

3) = =(Если , то еще раз применяем правило Лопеталя)=

Вывод: При логарифмическая функция возрастает гораздо медленнее, чем любая положительная степень x, а последняя в свою очередь гораздо медленнее, чем показательная.

(26)Экстремумы функции: необходимый признак и первый достаточный признак.

1) Пусть задана на . Если - внутренняя точка обл определения функции, то в этой точке функция имеет максимум (минимум) если

Этот максимум (минимум) будет строгим, если неравенства строгие.

Замечание:

Точки экстремума (макс., мин.) по определению рассматриваются лишь во внутренних точках, в литературе иногда говорят о краевых экстремумах