3) Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функции

Теорема 1:

(о непрерывности монотонной функции)

Если: 1) монотонна на

2) область значений есть промежуток,

тогда непрерывна во всех точках предельной для нее

Доказательство:

, докажем непрерывность в точке слева и справа.

Слева (справа):

Пусть , - возрастает. По теореме о пределе монотонной функции: (1). Т.к. возрастает (2). Покажем, что в неравенстве (2) знак « » не имеет места. Пусть , тогда для (а такие есть) (3) т.к. возрастает, а для (4). Из (3),(4) следует, что функция принимает значения и не принимает значения на промежутке . Это противоречит тому, что по условию значение функции – промежуток в (2) меньше быть не может.

Лемма:

Функция обратная к строго монотонной (однозначная) однозначна и строго монотонна в том же направлении.

Доказательство:

Пусть строго возрастает на множестве . Рассмотрим обратную к ней

( - область значений ) точка . Т.к. строго возрастает, то . Возьмём из , , . Если бы , тогда - функция строго возрастает

Теорема 2:

(о непрерывности функции обратной к строго монотонной)

Функция обратная к строго монотонной, определённой на промежутке непрерывна во всех точках своей области определения.

Доказательство:

Функция определена на промежутке и строго монотонна. по лемме однозначна и монотонна на , а область значений по теореме 1 непрерывна.

(2)Непрерывность элементарных функций

1) Основные элементарные функции

а) непрерывна

б) по следствию св. 6

в)

строго монотонна, непрерывная на всей области определения.

г) непрерывна как обратная к строго монотонной

д) тригонометрические функции: на этом промежутке функция строго монотонна , т.к. на любом таком промежутке она монотонна вся непрерывная

Непрерывная, как композиция двух непрерывных

Непрерывная как отношение двух непрерывных функций. Так же и

е) обратные тригонометрическим:

непрерывные как обратные к строго монотонным определенных на промежутке

2) Поскольку все элементарные функции получены из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических и алгебраических действий и т.к. операции над непрерывными функциями снова приводят к непрерывным функциям, то все элементарные функции являются непрерывными во всех точках области определения.

(3) Теоремы Больцана-Каши о промежуточных значениях

1) Определение (непрерывность на языке последовательности):

называется непрерывной в точке относительно множества , где , если

Теорема 1:

Если: 1) f(x) – непрерывна на [a,b]

2) f(x) принимает на концах промежутка значения разных знаков, тогда

Доказательство:

Пусть f(a)<0, f(b)>0

Точкой d рассечем отрезок ab пополам. Получим [a,d] и [d,b] в одном из промежутков функция будет меньше нуля на левом конце и больше нуля на правом. Обозначим этот промежуток . Снова рассечем его пополам. Получим

, т.к. функция в точке с непрерывна, то по определению непрерывности

2) Теорема 2:

Если: 1) f(x) – непрерывна на [a,b]

2)

Доказательство:

Введём вспомогательную функцию - непрервна

Замечание:

Ни одно из требований теоремы нельзя нарушить.