МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ФАКУЛЬТЕТ ФИЗИКИ И ЭКОНОМИКИ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ФИЗИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЯ

«УТВЕРЖДАЮ»

Заведующий кафедрой

_______________Б.А.Калин «____»__________200 г.

Лабораторная работа № 3

по дисциплине

«Дифракционные методы исследований»

ПРЕЦИЗИОННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДОВ РЕШЕТКИ

Преподаватели: В.Н.Яльцев, Н.А. Соколов, В.И. Скрытный

Москва

Прецизионное определение периодов решетки

Введение

Одной из важнейших характеристик вещества является его период кристаллической решетки. По периодам решетки вещества можно судить об образовании, концентрации и типе твердого раствора, о наличии остаточных напряжений, определять коэффициенты термического расширения и решать многие другие металловедческие задачи. Поэтому стремятся измерять периоды решетки с предельно возможной точностью. Обычный рентгеновский метод порошков позволяет определять периоды решетки с погрешностью ~ 0,1%. В настоящее время разработаны специальные прецизионные методы съемки и обработки результатов измерения рентгенограмм с погрешностью 0,01 – 0,001%.

Для достижения максимальной точности в определении периодов решетки необходимо:

1. использовать дифракционные линии, лежащие в прецизионной области углов Вульфа-Брэгга;

2. применять точную экспериментальную технику для уменьшения погрешностей измерений;

3. использовать методы графической или аналитической экстраполяции.

Понятие прецизионной области углов вводится следующим образом. Из формулы Вульфа-Брэгга 2dsinθ=λ следует, что погрешность в определении межплоскостного расстояния d, а, следовательно и любых параметров элементарной ячейки, зависит от точности данных о брэгговском угле θ и длине волны λ. Многие длины волн характеристического излучения известны с погрешностью 0,0005%, так что периоды решетки не могут быть определены с точностью, превышающей точность измерения длины волны.

После дифференцирования формулы Вульфа-Брэгга получим

|Δd/d| = ctgθ Δθ

т.е. относительная погрешность в определении межплоскостного расстояния |Δd/d| уменьшается с увеличением угла дифракции θ. Область углов θ > 60° называют прецизионной.

Увеличение точности достигается уменьшением случайных погрешностей измерений угла θ. Кроме случайных существуют также систематические погрешности; для их устранения необходимо определить источники этих погрешностей и провести экстраполяцию полученных результатов к углам θ = 90°.

Источники погрешностей в определении межплоскостных

расстояний

Известно, что при проведении любых измерений распределение результатов измерений по числу измерений описывается статистической функцией распределения, которой при большом числе измерений в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей является нормальное или гауссовское распределение Случайные и систематические погрешности измерений по разному влияют на вид кривой распределения. При этом полуширина или дисперсия кривой плотности распределения, связанная со случайными погрешностями, определяет прецизионность метода. Систематические погрешности приводят к смещению максимума кривой плотности распределения и определяют точность метода.

При измерениях периодов решетки случайными погрешностями являются погрешности , обусловленные неточным измерением угла Вульфа-Брэгга θ дифракционной линии.

Систематические погрешности связаны с геометрией съемки и с погрешностями, обусловленными физическими факторами.

Случайные погрешности измерений

При фотографическом методе регистрации дифракционной картины для определения угла θ измеряют расстояние между максимумами дифракционных линий. Погрешность отдельного промера зависит от ширины этих линий – она тем меньше, чем меньше ширина дифракционных линий. Погрешность измерений зависит также от способа промера: при измерениях с помощью масштабной линейки она равна ± 0,2 мм, при промере на специальном приборе – компараторе – погрешность не превышает 0,01 мм.

Систематические погрешности измерений

Систематические погрешности вызывают смещение дифракционных линий от положения, соответствующего истинному углу дифракции. Большинство этих ошибок уменьшается при увеличении угла θ, поэтому систематические погрешности можно устранить (или существенно уменьшить) с помощью экстраполяции результатов измерений на угол θ = 90°.

Для проведения экстраполяции необходимо знать вид экстраполяционных функций, т.е. функциональную зависимость погрешности от угла θ.

Источники систематических погрешностей, зависимость величины смещения Δθ от угла дифракции θ и вид экстраполяционных функций для фотометода приведены в таблице 1

Таблица 1. Источники систематических ошибок в определении угла θ, межплоскостных расстояний и связанные с ними поправки

Источник смещения	Зависимость величины ошибки Δθ от угла θ	Экстраполяци- онная функция для Δd/d
Эксцентриситет образца – cмещение образца из центра камеры на расстояние p: вдоль пучка перпендикулярно к пучку под углом α к пучку	Δθ =( p/R) sin θ cosθ Δθ = 0 Δθ = (-p/R) sin υ cosθ cosα	cos²θ – cos²θ
Поглощение лучей в образце	Δθ =( p/R) sinθ cosθ	cos²θ
Расходимость первичного пучка (с учетом поглоще- ния лучей в образце при θ = 60°)	Δθ ~ ctg²θ – 1	½( cos²θ/θ + cos²θ/sinθ)

При использовании дифрактометрического метода регистрации основными источниками систематических погрешностей в определении угла дифракции θ являются:

• отклонение поверхности образца от фокусирующей поверхности;

• смещение плоскости образца от оси гониометра;

• проникновение рентгеновских лучей в глубь образца;

• неточная установка нулевого положения счетчика;

• вертикальная расходимость пучков;

• спектральная дисперсия;

• изменение множителей Лоренца и поляризационного в пределах дифракционной линии.

Суммарная погрешность (и экстраполяционная функция) Δd/d пропорциональна cos²θ.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомление с прецизионными методами определения периодов решетки кристаллических веществ; практическое определение периода решетки исследуемого образца.

Камера для прецизионного определения периодов решетки

Камера для рентгеновской обратной съемки – КРОС – позволяет проводить измерения на плоских образцах. Обычно применяется расходящийся первичный пучок рентгеновских лучей, который вырезается одной щелью. При соблюдении определенных условий (условия фокусировки) это позволяет сфокусировать отраженные от образца дифракционные лучи на пленке – при этом дифракционные линии получаются узкими и интенсивными. Схема фокусировки лучей в камере КРОС приведена на рис.1.

Условием фокусировки является расположение щели S, отражающей поверхности образца и сфокусированной дифракционной линии на одной фокальной окружности.

Рис. 1. Схема фокусировки в камере КРОС: (1) – проекция фокуса; (2) – фотопленка; (3) – образец

Для выполнения условий фокусировки в камере КРОС предусмотрена возможность изменения расстояний между щелью и пленкой, пленкой и образцом.

Из рис.1 следует: l = A tg(180⁰ – 2θ) и а_f = l tg(180⁰ – 2θ), где а_f – расстояние между щелью и пленкой, А – расстояние между пленкой и образцом, l – половина расстояния между симметричными дифракционными линиями.

При работе с камерой КРОС необходимо знать приближенное значение периода решетки образца априбл. По его значению рассчитывают межплоскостное расстояние dприбл дифракционной линии HKL, лежащей в прецизионной области углов (с максимальным углом Вульфа-Брэгга). Для веществ с кубической решеткой

d_прибл = а_прибл / .

Затем по формуле Вульфа-Брэгга находят угол θ:

θ = arcsin(λ/2d_прибл).

Задаются произвольным (удобным для промера и установки в камере) значением l_расч (обычно l_расч = 30мм), после чего находят искомые установочные данные:

а_f = l_расч tg(180° – 2θ),

Арасч = l_расч / tg(180° – 2θ).

Вычисленное значение а_f устанавливают на камере с помощью специального щупа-глубомера. Расстояние А_расч устанавливают по шкале на основании камеры. Кассета камеры имеет секторные вырезы, что позволяет получать на одной пленке до шести снимков. Для точного определения А_изм на ту же пленку, на которую снимали исследуемый образец, производят съемку эталонного вещества, период решетки которого точно известен. Эталонное вещество должно давать линии, расположенные близко по углам θ к линиям образца.

После получения рентгенограммы и ее фотообработки измеряют диаметры дебаевских колец для исследуемого образца и эталонного вещества. Для этого пользуются микроскопом-компаратором ИЗА-2.

Из промера расстояний для линий эталона l_эт по рентгенограмме и точного значения периода решетки эталона а_эт вычисляют точное значение расстояния образец-пленка А_изм . В свою очередь, промер расстояния между линиями образца l_изм и вычисленное расстояние А_изм дают возможность определить θ_изм, после чего вычисляют искомый период решетки образца ао.

Микроскоп-компаратор иза-2

Для измерения расстояний (в том числе и диаметров дебаевских колец на рентгенограммах) применяется компаратор ИЗА-2 (рис.2).

Измерение длин производится путем сравнения измеряемой длины со шкалой прибора при помощи двух микроскопов. Один микроскоп – визирный (левый) служит для наведения на измеряемый объект. Другой (правый) – для отсчета по шкале прибора.

Рентгеновская пленка устанавливается и закрепляется на подвижном столе прибора под визирным микроскопом. Линия измерения должна располагаться параллельно перемещению стола. Фокусировкой визирного микроскопа с помощью маховичка (3) добиваются резкого изображения дифракционной линии на пленке. При правильной наводке на резкость небольшие изменения положения глаза наблюдателя относительно окуляра микроскопа не должны приводить к смещению изображения относительно визира микроскопа.

Рис. 2. Компаратор ИЗА-2: (1) – визирный микроскоп; (2) –подвижный стол микроскопа; (3) – маховичок визирного микроскопа; (4) – отсчетный микроскоп; (5) – маховичок отсчетного микроскопа; (6) – стопорный винт; (7) - микрометрический винт

Отсчетный микроскоп (4) (правый) со спиральным окулярным микрометром служит для отсчета по шкале компаратора. Наводку на резкость витков сетки спирального микрометра на штрихи шкалы прибора производят при помощи маховичка (5).

Зеркала для освещения шкалы компаратора и измеряемого объекта имеют по две рабочие поверхности – плоскую с зеркальным отражением и сферическую матовую с рассеивающим отражением. Первая применяется при рассеянном дневном свете, вторая – при направленном (от лампы накаливания).

Порядок измерений. Отвернув винт (6), перемещают стол до тех пор, пока измеряемая дифракционная линия не появится в поле зрения визирного микроскопа. Затем закрепляют винт (6) и с помощью микрометрического винта (7) проводят точную наводку: визир микроскопа устанавливают на середину дифракционной линии.

Далее производят отсчет по спиральному окулярному микрометру.

В поле зрения отсчетного микроскопа одновременно видны: два-три штриха миллиметровой шкалы, обозначенные крупными цифрами «83», «84», «85»; неподвижная шкала десятых долей миллиметра с делениями от «0» до «10»; круговая шкала для отсчета сотых и тысячных долей мм и десять двойных витков спирали (рис.3).

Рис. 3. Поле зрения отсчетного микроскопа

Чтобы произвести отсчет, необходимо маховичком 18 подвести двойной виток спирали, так, чтобы миллиметровый штрих оказался точно посередине между линиями витка. Индексом для отсчета миллиметровых делений шкалы является нулевой штрих неподвижной (горизонтальной) шкалы десятых долей миллиметра.

Если в поле зрения окуляра штрих миллиметровой шкалы расположен вправо от индекса, то это означает, что данный миллиметровый штрих уже прошел индекс, а ближайший, больший по значению миллиметровый штрих еще не дошел до индекса.

На рис.3 миллиметровый штрих «84» уже прошел нулевой штрих шкалы десятых долей, а ближайший больший штрих «85» еще не дошел до нулевого штриха. Поэтому отсчет будет равен 84 мм плюс отрезок от штриха «84» до нулевого штриха. Число десятых долей миллиметра в этом отрезке показывает цифра последнего пройденного штриха шкалы десятых долей миллиметра (в нашем примере «3»). Сотые и тысячные доли миллиметра отсчитываются одновременно по круговой шкале; цена деления круговой шкалы – 0,001 мм. На рис.3 указатель шкалы точно совпал со штрихом «99» круговой шкалы, поэтому окончательный отсчет будет 84,399 мм.

Диаметр D дебаевского кольца находят вычитанием показаний двух отсчетов l_пр – l_лев для симметричных дифракционных линий справа и слева от центра рентгенограммы.

Содержание работы

Провести расчет установочных данных и получить рентгенограмму от эталона (Al) и образца (сплав Fe – Co).

После измерений и расчета рентгенограммы определить параметр решетки образца.

Определить параметр решетки образца с использованием безэталонного метода по итерационной процедуре.

Порядок выполнения лабораторной работы

Практическая часть выполняется в следующем порядке:

1. Проводится расчет установочных данных для камеры КРОС при съемке образца сплава Fe – Co. Для этого необходимо знать приближенное значение параметра решетки a сплава. В качестве такового для сплавов Fe – Co (в области твердых растворов замещения) можно взять значение a_Fe = 2,86 Å чистого железа.

По приближенному значению a_Fe определяют индексы линии, имеющей наибольший угол θ. Это можно сделать на основании неравенств:

λ = 2d sinθ, sinθ < 1, d > λ/2, 1/d² = (H²+K²+L²)/a²,

< 2a/ λ .

Съемку проводят на излучении K_α Co. При расчете в последнее неравенство подставляют только сумму квадратов индексов, возможных для данного типа решетки.

Определив индексы линий и угол θ, задаются значением l = 30мм. Тогда можно найти установочные данные А_пр (приближенное расстояние образец – пленка) и a_f для съемки в камере КРОС:

А_пр = l/ tg(180° – 2θ); a_f = l tg(180° – 2θ).

2. Найденные таким образом А_пр и a_f устанавливаются в камере КРОС. После этого на одну и ту же пленку производят последовательно съемку образца Al и образца Fe – Co, повернув на 90° после первой съемки на кассете заслонку с секторным вырезом.

3. Производят фотообработку рентгенограммы. Сушить рентгенограмму под воздушным полотенцем нельзя.

4. На компараторе ИЗА-2 проводят промер рентгенограммы. Сектор рентгенограммы, соответствующий образцу сплава Fe – Co имеет более темный фон по сравнению с сектором, соответствующим алюминию, что связано с возникновением вторичного флюоресцентного излучения Fe при съемке на излучении Co.

Линия K_α2 располагается ближе к центру, а дальше от него – линия K_α1. Вначале проводят измерения на правой части рентгенограммы эталона (алюминия), поочередно измеряя n раз каждую из линий K_α1 и K_α2 (n не менее пяти). Ту же операцию проводят на левой стороне рентгенограммы Al. Аналогично измеряют рентгенограмму сплава Fe – Co. Данные измерений для эталона и сплава Fe – Co заносят в таблицы 2 и 3.

5. Прецизионное определение периода решетки с использованием эталона проводят в два этапа.

Первый этап – определение точного расстояния образец-пленка A_изм по линиям эталона.

Таблица 2. Результаты измерений и расчета эталона Al, линия (420)

Kα1		Kα2
L1 пр	L1 лев	L2 пр	L2 лев
1 . . n	1 . . n	1 . . n	1 . . n
ΣL1i ΣL1i2 ‹L1 пр› = ΣL1i / n ΔL1 пр = ΣL1i2 – (ΣL1i )2 / n s2L1 пр =ΔL1 пр /(n–1) s2‹L1 пр›=s2L1 пр/n	ΣL1i ΣL1i2 ‹L1 лев› = ΣL1i / n ΔL1 лев = ΣL1i2 – (ΣL1i)2 / n s2L1 лев =ΔL1 лев/(n–1) s2‹L1 лев›=s2L1 лев/n	ΣL2i ΣL2i2 ‹L2 пр› = ΣL2i / n ΔL2 пр = ΣL2i2 – (ΣL2i)2 / n s2L2 пр=ΔL2 пр /(n–1) s2‹L2 пр›=s2L2 пр/n	ΣL2i ΣL2i2 ‹L2 лев› = ΣL2i / n ΔL2 лев = ΣL2i2 – (ΣL2i)2 / n s2L2 лев=ΔL2 лев /(n–1) s2‹L2 лев›=s2L2 лев/n
‹D1› = ‹L1 пр› – ‹L1 лев› s2‹D1› = s2‹L1 пр› + s2‹L1 лев›		‹D2› = ‹L2 пр› – ‹L2 лев› s2‹D2› = s2‹L2 пр› + s2‹L2 лев›
A1 s2A1		A2 s2A2
Aизм s2A изм

Второй этап – определение периода решетки сплава Fe – Co a₀ по линиям образца.

Предварительно необходимо провести статистическую обработку результатов измерения положения дифракционных линий, записанных в таблицах 2 и 3. На основе измерений L_i вычисляют среднее значение ‹L› с n – 1 степенями свободы, оценку дисперсии измерений s²_L:

s²_L = [ΣL_i² – (ΣL_i)² / n] / (n–1);

оценку дисперсии среднего значения <L> – величину s²_‹L›:

s²_‹L› = s²_L / n.

Расстояние между дифракционными линиями ‹D› с 2n–2 степенями свободы находят как ‹D› = ‹L_пр› – ‹L_лев›, оценкой дисперсии ‹D› является s²_‹D›:

s²_‹D› = s²_{‹L пр›} + s²_{‹L лев›}.

Вычисления ‹D› и s²_‹D› необходимо провести для K_α1 и K_α2 линий эталона и образца.

Таблица 3. Результаты измерений и расчета образца Fe – Co, линия (310)

Kα1		Kα2
L1 пр	L1 лев	L2 пр	L2 лев
1 . . n	1 . . n	1 . . n	1 . . n
ΣL1i ΣL1i2 ‹L1 пр› = ΣL1i / n ΔL1 пр = ΣL1i2 – (ΣL1i )2 / n s2L1 пр =ΔL1 пр /(n–1) s2‹L1 пр›=s2L1 пр/n	ΣL1i ΣL1i2 ‹L1 лев› = ΣL1i / n ΔL1 лев = ΣL1i2 – (ΣL1i)2 / n s2L1 лев =ΔL1 лев/(n–1) s2‹L1 лев›=s2L1 лев/n	ΣL2i ΣL2i2 ‹L2 пр› = ΣL2i / n ΔL2 пр = ΣL2i2 – (ΣL2i)2 / n s2L2 пр=ΔL2 пр /(n–1) s2‹L2 пр›=s2L2 пр/n	ΣL2i ΣL2i2 ‹L2 лев› = ΣL2i / n ΔL2 лев = ΣL2i2 – (ΣL2i)2 / n s2L2 лев=ΔL2 лев /(n–1) s2‹L2 лев›=s2L2 лев/n
‹D1› = ‹L1 пр› – ‹L1 лев› s2‹D1› = s2‹L1 пр› + s2‹L1 лев›		‹D2› = ‹L2 пр› – ‹L2 лев› s2‹D2› = s2‹L2 пр› + s2‹L2 лев›
a1 s2a1		a2 s2a2
a0 s2a0