4. Конструктивный метод доказательства логических клауз

Конструктивный метод доказательства в логике высказываний основыва­ется на использовании таблиц истинности. Составим таблицу истинности для конкретного примера. Пусть дана легенда:

Кассир Сидорова сказала, чпго она видела водителя контейнеровоза Иванова в комнате отдыха. Эта комната по ее словам находится рядом с помещением склада готовой продукции. Стреляли в складе. Водитель заявил, что он никаких выстрелов не слышал. Вывод следователя; если кассир гово­рит правду, то водитель вводит следствие в заблуждение, не могут кассир и водитель одновременно говорить правду. Введем обозначение для высказываний:

А = «Кассир сказала правду»»

В = «Водитель находился в комнате отдыха»,

С = «Комната отдыха находилась вблизи склада»,

D = «Водитель слышал выстрелы»,

Е = «Водитель сказал правду».

Посылки следователя:

Если кассир сказала правду, по водитель находился в комнате отдыха:

Если водитель находился в комнате отдыха, то он должен был слышать все, что делается на складе:

Если он имел возможность слышать, что делается на складе, то он слы­шал и выстрелы:

Если верить водителю, то он не слышал выстрелов:

Заключение следователя:

Водитель меня обманывает при условии, что кассир говорит правду:

Кассир и водитель одновременно говорят правду:

Формальная запись легенды:

Доказать истинность следствия C₁ аксиоматическим методом не составит труда. Для этого нужно воспользоваться тождеством:

и затем трижды применить закон транзитивности. Заключение С₂ ошибочно, так как

что означает

а это противоречит аксиоме порядка.

Теперь составим таблицу истинности (табл. 10.2.), в которой под Р понимается обобщенная причина, то есть конъюнкция всех P_i.

Таблица 10.2.

A	B	C	D	E	P1	P2	P3	P4	P	C1	C2	C3	C4
0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
1	0	0	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	1	0	1	1	0	1	0	1	0
1	1	0	0	0	1	0	1	1	0	1	0	0	0
0	0	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	1
1	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0
0	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	0
1	1	1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	0
0	0	0	1	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
1	0	0	1	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	1	0	1	1	0	1	0	0	0
1	1	0	1	0	1	0	1	1	0	1	0	0	0
0	0	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1
1	0	1	1	0	0	1	1	1	0	1	0	0	1
0	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	0	1	1
0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1
1	0	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1	0	0
0	1	0	0	1	1	0	1	1	0	1	0	1	0
1	1	0	0	1	1	0	1	1	0	0	1	0	0
0	0	1	0	1	1	1	0	1	0	1	0	1	1
1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	1	0	1	0	1	0	1	0
1	1	1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	0	0
0	0	0	1	1	1	1	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	0	0	0
1	1	0	1	1	1	0	1	0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	1	0	0	1
1	0	1	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1	0	0	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	1	0	0

Клауза считается истинной, если единицы следствия ( С ) накрывают все единицы обобщенной причины ( Р ), то есть единицы обобщенной причины об­разуют подмножество единиц следствия. Это требование выполняется для след­ствия C₁ , так как , но не для С₂, так как .

С помощью скорректированной таблицы 10.2. нетрудно установить спра­ведливость тавтологии, составленной из этих же посылок:

и противоречия:

а также любых других клауз, полученных из первоначальной путем эквивалент­ных преобразований, например:

Если C₁ заменить на С₂ то во всех указанных случаях условие причинно-следственного отношения нарушится и клаузы превратятся в ложные метавы-сказывания.

Заключения С₁ и С₂ настолько очевидны, что никакой следователь в этом случае не стал бы прибегать к таблицам истинности. Но трудно найти такого следователя, который только путем одних рассуждений смог бы правильно вы­брать из двух нижеследующих заключений истинное:

Водитель обманывает, он находился в комнате отдыха, а комната отдыха действительно расположена рядом со складом - все это так, но при условии, что кассир сказала правду или водитель слышал выстрелы:

Водитель обманывает, он слышал выстрелы, а комната отдыха действи­тельно расположена рядом со складом - все это так, но при условии, что кассир сказала правду или что водитель находился в комнате отдыха:

Единичные наборы для этих заключений так же приведены в таблице 10.2. Для заключения С₃ в строках 8 и 12 стоят нули, следовательно, условие причинно-следственного отношения не выполняется, и поэтому С₃ является лож­ным заключением. Для следствия С₄ все его единицы накрывают единицы обобщенной посылки Р, следовательно, С₄ является истинным заключением:

Истинность заключения тем очевиднее, чем большим числом его единиц накрываются единицы обобщенной причины. Отсюда можно составить объек­тивный критерий для оценки логических способностей человека.

Вообще, прежде всего необходимо построить все совместимые ряды со­бытий. В нашем примере таких рядов 6 (они соответствуют 0, 8, 12, 14, 15, 16 строкам таблицы 10.2.) Их объединение даст предельный случай условия вы­полнения причинно-следственного отношения:

Перед нами не что иное, как СДНФ, отвечающая нашей конкретной при­чине Р. Всевозможные покрытия шести конституент дают множество истинных следствий. Так заключения

покрывают все шесть конституент, они - истинные. Два других заключения

не покрывают все или отдельные конституенты, они являются ложными следст­виями. Минимизируя СДНФ, получаем следующую МНФ:

Минимальное покрытие - это покрытие с наименьшим числом термов. В данном примере - это заключение С₁ . В него входят два решающих высказывания, связанных с правдивостью кассира ( А ) и правдивостью водителя ( Е ). Все остальные утверждения являются второстепенными и могут выступать в ре­зультирующем заключении совместно с А и Е.

Транcверсальное покрытие должно включать все имеющиеся термы. Для нашего примера существуют четыре трансверсальных покрытия:

Среди выписанных покрытий находится и заключение С₄ , которое уже проинтерпретировали в импликативной форме. Интерпретация заключений че­рез ДНФ является более предпочтительной. Возьмем для примера заключение

Оно предполагает три исхода истинного значения при совместном действии всех пяти факторов:

Именно трансверсалъные покрытия дают наиболее полную картину воз­можных следствий из сформулированных посылок.