3.1 Определение изображения y(s) решений систем дифференциальных уравнений

Согласно условию задания, математическая модель бокового перемещения нестабилизированной машины относительно заданного курса описывается следующей системой дифференциальных уравнений.

Преобразуем по Лапласу указанную систему уравнений:

Sy(S)-y₀=a_yff(S)

Sf(S)-f₀=a_fgg(S)

Sg(S)-g₀=a_ggg(S)+a_guu(S)

Выражаем g(S), f(S), y(S):

В полученном изображении решения системы выделяем изображение собственного и вынужденного движения системы:

y(S)=y₀(S)+y_u(S)

В таблице 4 приведены два вида внешних возмущений u(t) системы дифференциальных уравнений (1): ступенчатое возмущение f₁(t) и гармоническое возмущение f₂(t). Найдем их изображения и подставим в изображение вынужденного движения системы.

В соответствии с вариантом задания изображение собственного и вынужденного движения системы примет следующий вид:

Для исследования характера собственного движения найдем особые точки его изображения:

S₁=0 полюс кратности 2

S₂= -0,05 простой полюс.

Так как один из полюсов изображения находится на мнимой оси, то исследуемая система находится на границе устойчивости и требует дополнительного исследования. С учетом кратности полюсов, оригинал будет выглядеть следующим образом:

. Следовательно, система является неустойчивой. Отсутствие комплексных корней характеристического многочлена говорит об апериодическом характере движения системы.

Найдем особые точки вынужденного движения для первого случая.

S₁=-0.05 - простой полюс

S₂=0 - полюс 3-го порядка

Так как один из полюсов изображения находится на мнимой оси, то исследуемая система находится на границе устойчивости и требует дополнительного исследования. С учетом кратности полюсов, оригинал будет выглядеть следующим образом:

. Следовательно, система является неустойчивой. Отсутствие комплексных корней характеристического многочлена говорит об апериодическом характере движения системы.

Найдем особые точки вынужденного движения для второго случая .

S₁=-0.05 простой полюс

S₂=0 полюс кратности 2

S₃ ,S₄ пара мнимых комплексно-сопряженных корней

S₃ ,S₄= bcos0.2t-csin0.2t

Оригинал вынужденного движения будет иметь вид:

Т ак как , то система является неустойчивой. Наличие комплексных корней характеристического многочлена говорит о колебательном характере движения системы.

3.2 Определение оригиналов собственного и вынужденного движений.

Оригинал собственного движения.

В ыполняя обратное преобразование Лапласа, получим:

Таким образом,

Рисунок 3.1

Оригинал вынужденного движения (случай 1)

Выполняя обратное преобразование Лапласа, получим:

Рисунок 3.2

Оригинал вынужденного движения (случай 2)

Выполняя обратное преобразование Лапласа, получим:

Рисунок 3.3