1.1 Проверка на линейную зависимость сигналов x1, x2, x3 с помощью матрицы Грамма

Д ля того, чтобы сигналы были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы Грамма был не равен нулю.

Составим матрицу Грама:

Где выражение (х_i, х_i ) есть скалярное произведение непрерывных сигналов.

Скалярное произведение непрерывных сигналов вычисляется по формуле 1.:

(1)

Составим матрицу Грама:

Так как определитель матрицы Грамма отличен от нуля, то сигналы x1, x2, x3 являются линейно независимыми и, следовательно, размерность подпространства сигналов

L = L{x1, x2, x3} равняется 3.

1.2 Определение ортонормированного базиса подпространства l с помощью метода Грамма-Шмидта. Построение графиков сигналов исходного и ортонормированного базисом подпространства l

Р асчет базисного сигнала U1.

Найдем квадратичую норму сигнала X1 по формуле (2): (2)

н орма сигнала Х1 будет равна:

(3)

С игнал U1 находится по формуле (3):

Построим графики сигналов исходного и ортонормированного базисов подпространства L.

Исходный базис:

Рисунок 1.1

Ортонормированный базис:

Рисунок 1.2

1.3 Расчет проекции сигнала y на подпространство l в базисе x1,x2,x3

Найдем проекцию сигнала Y на подпространство L {X1, X2, X3} на исходном базисе:

Найдем скалярные произведения по формуле 1:

Таким образом, проекция сигнала y(t) на подпространство, заданное на исходном базисе будет равно:

1.4 Нахождение проекции сигнала y на подпространство l{x1, x2, x3} на ортонормированном базисе

Таким образом, проекция сигнала y(t) на подпространство, заданное на ортонормированном базисе будет равно:

Проекции сигнала Y на подпространство L в обоих базисах должны быть равны, покажем это на графиках (смотри рисунок 1.3). Также приводятся значения проекций.

Рисунок 1.3

Итак, проекции сигнала Y на подпространство L в обоих базисах равны.

1.5 Нахождение энергии и нормы сигнала y

Построим графики сигнала y(t), его проекций и перпендикуляров (смотри рисунок 1.4).

Рисунок 1.4

2 Разложение непрерывного сигнала в обобщенный ряд Фурье

1. Найти отрезок ряда таким образом, чтобы энергия погрешности приближения сигнала этим отрезком не превышала 2% от энергии сигнала. Составить таблицу зависимости энергии погрешности оценки сигнала от количества слагаемых полученного отрезка ряда (от одного слагаемого до всех подcчитанных).

2. Построить график сигнала X(t), а также всех его приближений отрезками ряда, приведенными в таблице предыдущего пункта. Отдельно построить графики сигналов погрешности приближения сигнала отрезками ряда и провести их исследование, применяя при этом в качестве критерия ошибки приближения Чебышевскую (равномерную) норму.

Вариант исходных данных к заданию 2.

Таблица 2

N	Сигнал X(t)	Ряд	tнач	tкон
10		Фурье