2.1 Теоретические сведения.

П усть дана функция f(x) с периодом 2π и для нее требуется найти всюду сходящийся тригонометрический ряд:

Если эта задача имеет решение, то оно единственно, и коэффициенты искомого ряда находятся по формулам Эйлера-Фурье:

(2)

, где T=t_кон-t_нач=

Ряд (1) называется рядом Фурье, а коэффициенты а_k и b_k – коэффициентами Фурье.

Запишем тригонометрический ряд (1) в комплексной форме:

В формуле (3) суммирование производится как по положительным, так и по отрицательным значениям k. Однако после суммирования комплексных слагаемых останутся только вещественные величины, так как комплексные коэффициенты c_k и c_-k являются сопряженными.

2.2 Нахождение отрезка ряда, удовлетворяющего заданным требованиям

Ряд Фурье представлен формулой:

Ошибка приближения в общем случае равна:

,

Как видно из последнего расчета, энергия погрешности приближения сигнала уже меньше

2%, но найдем и покажем еще несколько членов ряда Фурье.

2.3 Графики сигнала X(t), всех его приближений отрезками ряда и сигналов погрешности приближения сигнала отрезками ряда

Построим график сигнала X(t), а также всех его приближений отрезками ряда, приведенными в пункте 2.2.

x(t) – график сигнала X(t)

Рисунок 2.3.1 – графики исходного сигнала и первого приближения.

Рисунок 2.3.2 – графики исходного сигнала и второго приближения.

Рисунок 2.3 – графики исходного сигнала и третьего приближения.

Построим графики сигналов погрешности приближения сигнала отрезками ряда

Для графиков: - погрешность приближения сигнала.

Рисунок 2.4 – график зависимости ошибки приближения от количества слагаемых

3 Применение преобразования Лапласа к исследованию решений дифференциальных уравнений.

1. Найти изображение Y(s) решений систем дифференциальных уравнений (1) при значении коэффициентов уравнений, начальных условиях и внешних возмущениях, приведенных в таблицах 3 , 4. Выделить в этих изображениях составляющие:

- вызванными начальными условиями – изображение собственного движения;

- вызванные внешним возмущением (отдельно f₁ и f₂ ) – изображения вынужденного движения.

Представить на комплексной плоскости расположение особых точек изображений и по ним сделать выводы о характере решений.

2. По изображениям, полученным в пункте 1 найти оригиналы собственного и вынужденного движений. Построить графики на отрезке времени 0 < t < 100 секунд этих процессов и сравнить с выводами о характере процессов, сделанными в пункте 1.

3. Найти коэффициенты обратной связи (2), обеспечивающие значение собственных чисел системы дифференциальных уравнений (1), (2), заданные в таблице 5. Подставить полученные значения в уравнения.

4. Выполнить пункты 1, 2 настоящего задания теперь для системы (1), (2) с обратной связью, описывающей движение стабилизированного самолета.

Таблица 3

N	ayf	afg	agg	agu	Y0	f0	g0
10	3.0	0.028	-0.05	0.05	0	-5	-2

Таблица 4

N	f1(t)	f2(t)
10	Ф(t-20)-Ф(t-30)	Sin 0.2t

Таблица 5

N	Собственные числа систем уравнений (1), (3)
	S1, S2	S3
10	-0.15j0.2	-0.05

(1)

u(t) = k_Y Y(t) + k_f f(t) + k_g g(t) + v(t). (2)