3. Оценка точности косвенных измерений

В тех случаях, когда физическая величина не может быть измерена непосредственно, прибегают к косвенным измерениям. Пусть является некоторой функцией и , т. е. . Тогда наиболее точное значение при оценке равно , где и находятся по формуле (2). Как же найти , если известны и ? Так как сами величины и находятся путем прямых измерений, то их абсолютные погрешности и можно оценить по формулам (4) и (5). Заметим, что ; следовательно, оценкой для является разность:

, (7)

т. е. ошибка косвенного измерения находится через ошибки прямых измерений по правилу дифференцирования. Поскольку погрешности всегда складываются, формулу (7) следует записать в виде:

. (8)

Более точным является следующее выражение:

, (10)

где и – частные производные по переменным и , взятые при значениях ; .

4. Правила округления погрешностей

Погрешность обычно выражают одной значащей цифрой. Погрешности измерения указывают, какие цифры являются сомнительными в числовом значении измеренной величины. Так как точность измерения физической величины определяется измерением, а не вычислением, то округление числового значения результата измерения производится до цифр того же порядка, что и значение погрешности. При округлении результатов необходимо помнить следующие правила приближенных вычислений.

1. «Лишние» цифры у целых чисел заменяются нулями, а у десятичных дробей отбрасываются.

Например,

Y=123 357687 (до округления),

Y=123 400700 (после округления).

2. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра меньше 5, то остающиеся цифры не изменяются, а если указанная цифра равна или больше 5, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу.

Например,

Y=237.460.23 (до округления),

Y=237.50.2 (после округления).

Так как при значение определяется с погрешностью более 30%, то величину погрешности необходимо округлить до двух значащих цифр, если первая из них единица, и до одной во всех остальных случаях. Например, а=1.350.16 м, b=1.40.3 м. Среднее арифметическое необходимо заканчивать в том же разряде, что и погрешность.

При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляется так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных. При других математических операциях в результате необходимо оставить столько значащих цифр, сколько их осталось после операции сложения и вычитания в наименее точном числе.

5. Графическое представление результатов

В большинстве случаев экспериментального исследования различных физических явлений целесообразно представить полученные результаты в виде графика. Как оценить, согласуются ли результаты опыта с ожидаемой величиной, получаемой из зависимости между измеряемыми величинами? Наглядное представление об этом дает сопоставление теоретической кривой с найденными экспериментально точками. Особенно удобно, например, проверять, ложатся ли данные точки на прямую линию. Поэтому при построении графиков желательно выбрать такие координаты, чтобы ожидаемая зависимость была линейной. Например, при определении ускорения свободного падения из соотношения между высотой и временем падения удобно строить график в координатах . Тогда ( – угол наклона прямой к оси ), т. е. определяется по всей совокупности результатов измерений и . Чтобы изобразить графически зависимость одной физической величины от другой в прямоугольной системе координат, на ось абсцисс наносят шкалу значений аргумента, а на ось ординат – шкалу значений функции. Масштабы для аргумента и функции должны быть удобными и обязательно то, чтобы одна клетка графика соответствовала (1,2,5)10^k единицам измеряемой величины (k – целое число). Значения, соответствующие экспериментальным точкам, на осях не проставляются. Начало отсчета графика не обязательно должно соответствовать X=0 и Y=0. При выборе начала отсчета следует руководствоваться тем, чтобы экспериментальные точки занимали все поле графика. При проведении плавной кривой по экспериментальным точкам необходимо следить за тем, чтобы на каждом достаточно большом её участке точки располагались как выше, так и ниже кривой. Нельзя соединять последовательно все экспериментальные точки, т.к. ломаная не соответствует истинной физической зависимости (при повторной серии измерений эта линия не воспроизводится).

При построении графика можно «на глаз» достаточно точно провести лишь прямую линию. При этом надо следить, чтобы сумма отклонений точек, лежащих по одну сторону от прямой примерно равнялась сумме отклонений по другую сторону. Поэтому функциональную зависимость стараются часто представить линейной, тогда графиком будет прямая, не обязательно начинающаяся от начала координат.

Экспериментальные точки на графике представляют в виде крестиков, размах по высоте и ширине которых равен удвоенным погрешностям измерений, отложенных по осям величин.

Более подробная классификация погрешностей измерений, их расчет, правила построения графиков и работы с ними приведены в учебно-методическом пособии Е. А. Маниной и Г. А. Шадрина «Обработка результатов измерений физического практикума», Изд-во СурГУ, 2007 г.