Математическая обработка результатов измерений и представление экспериментальных данных

Под измерением понимают сравнение измеряемой физической величины с другой величиной, принятой за эталон. Измерения подразделяют на прямые и косвенные. При прямых измерениях определяемую величину сравнивают с эталоном непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. При косвенных измерениях искомая величина вычисляется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с определяемой величиной определенной функциональной зависимостью.

1. Погрешности результатов измерений

Истинное значение физической величины абсолютно точно определить нельзя. Каждое измерение дает значение определяемой величины с погрешностью . Это значит, что истинное значение лежит в интервале:

, (1)

где – значение величины , полученное при измерении; характеризует точность измерения . Величину называют абсолютной погрешностью, с которой определяется . Как определить , если само значение нам не известно? Все погрешности при измерении физической величины подразделяются на случайные и систематические. Причины возникновения погрешностей самые разные. Понять возможные причины погрешностей и свести их к минимуму – это означает грамотно поставить эксперимент и провести измерения.

Систематической называют такую погрешность, величина которой остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Такие погрешности возникают в результате конструктивных особенностей измерительных приборов, неточности метода исследования, округления констант и т. д. Измерительным прибором называют такое устройство, с помощью которого осуществляется сравнение измеряемой величины с эталоном. В любом приборе заложена та или иная систематическая погрешность, которую невозможно устранить, но ее можно учесть. Систематические погрешности либо увеличивают, либо уменьшают результаты измерения, т. е. систематические погрешности характеризуются постоянством знака.

Случайные погрешности – ошибки, появление которых не может быть предугадано. Поэтому они могут оказать влияние на отдельное измерение, но при многократных измерениях они подчиняются законам статистики и их влияние на результаты измерений можно учесть или значительно уменьшить.

Относительной погрешностью измерений называют отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины.

При измерениях, проводимых лабораторными методами, как правило, выполняется несколько измерений и вычисляется среднее арифметическое полученных значений, которое принимают за наиболее достоверное значение измеряемой величины. Затем производят оценку точности результата измерений.

2. Оценка точности прямых многократных измерений

Пусть при повторении измерений физической величины в одинаковых условиях получили некоторые различные значения: (n – число измерений). В этом случае за наиболее достоверное значение измеряемой величины принимают среднее арифметическое из всех n результатов измерений:

. (2)

Окончательный результат измерения величины представляют в виде:

, (3)

где – положительная величина, называемая абсолютной погрешностью найденной величины . Доверительной вероятностью (надёжностью) полученного результата измерения физической величины называется вероятность того, что истинное значение действительно лежит в интервале от до , а соответствующий этому значению интервал – доверительным интервалом. При малом числе измерений и при условии, если систематическими погрешностями можно пренебречь, полуширина доверительного интервала (которую при этих условиях называют случайной погрешностью) при заданном значении равна:

, (4)

где – коэффициент Стьюдента. Для , принятой в студенческом лабораторном практикуме, значения таковы:

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
	13	4.3	3.2	2.8	2.6	2.5	2.4	2.3	2.3	2

Величину называют среднеквадратичной погрешностью среднего арифметического из серии измерений.

В общем случае необходимо принимать во внимание как случайные, так и систематические погрешности измеряемых величин. Погрешность прибора обычно указывается в его паспорте или условным знаком на шкале прибора. Как правило, под погрешностью прибора понимают полуширину интервала, внутри которого с доверительной вероятностью может быть заключена измеряемая величина. Это верно в том случае, если погрешность измерений обусловлена только погрешностью прибора. В качестве полной погрешности результата измерений с доверительной вероятность примем:

. (5)

Абсолютная погрешность позволяет установить, в каком знаке полученного результата содержится неточность. Относительная погрешность дает информацию о том, какую долю (процент) измеряемой величины составляет абсолютная погрешность. Окончательный результат серии прямых измерений величины записывают в виде:

(6)

Таким образом, физическая величина, найденная опытным путем, должна быть представлена: средним значением ; абсолютной погрешностью для доверительной вероятности ; относительной погрешностью .