1) Понятие вектора,модуль,коллинеарность и компланарность векторов.Геометрическое и экономическое понятие

1) Вектором называется направленный отрезок (или, что то же, упорядоченная пара точек). Обозначают: (точка A - начало вектора, точка В - конец вектора) или одной буквой - .2)Длиной вектора (модулем) называется расстояние между началом и концом вектора. Длина вектора обозначается | | или | |..3) Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Обозначают: .. 4)Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называется ортом вектора и обозначается обычно символом ..5) Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.. 6)Векторы называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаковое направление.Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обозначается |АВ|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 . Нулевой вектор направления не имеет.Понятие вектор в геометрии отлично от определяемого в алгебре. Различают понятие свободного и связанного (приложенного, закреплённого) вектора.Связанный вектор или направленный отрезок — упорядоченная пара точек евклидова пространства.Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.При этом два направленных отрезка считаются эквивалентными, если они:коллинеарны,равны по длине,одинаково направлены (сонаправлены)Существует естественный изоморфизм свободных векторов и параллельных переносов пространства (каждый перенос взаимно однозначно соответствует какому-то свободному вектору). На этом также строят геометрическое определение свободного вектора, просто отождествляя его с соответственным переносом.Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

2) Действие над векторами.Правило параллелограмма и многоугольника

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.А модуль (длину) вектора суммы определяют по теореме косинусов где  — угол между векторами, когда начало одного совпадает с концом другого. Так же используется формула теперь  — угол между векторами выходящими из одной точки.Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.Сложение коллинеарных скользящих векторовЕсли скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.Произведение вектора на числоПроизведением вектора и числа λ называется вектор, обозначаемый (или ), модуль которого равен , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Если же , или вектор нулевой, тогда и только тогда произведение  — нулевой вектор.Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, . Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:если , то . Наоборот, если , то при некотором λ верно равенство ; всегда °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.