- •1 Функция нескольких переменных.
- •2. Частное и полное приращение
- •3. Предел и непрерывность функции двух независимых переменных
- •4.) Частные производные. Функции двух переменных.
- •5.) Полный дифференциал функции. Функции двух переменных.
- •6.) Частные производные высших порядков. Функции двух переменных.
- •7.) Градиент функции трех переменных.
- •8.) Производная функции по направлению.
- •9.) Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие всех первообразных.
- •Вопрос 15 Простейшие рациональные и их интегрирование
- •Вопрос 16 Разложение правильной дроби на простейшие Определение 1.
- •19.Интегралы вида
- •21.Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
- •22Интегрирование простейших иррациональных выражений
- •24 Понятие интегральной суммы
- •26 Методы вычисления определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
- •27 Метод замены переменной для определенного интеграла
- •Вопрос 28. Интегрирование по частям определенного интервала
- •Вопрос 29. Вычисление площадей плоских фигур
- •Вопрос 30. Несобственные интегралы I рода
- •Вопрос 31. Несобственные интегралы II рода
- •Вопрос 32. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Есть в тетради. Называется Геометрич. Приложения определенного интеграла
- •Вопрос 33. Пусть требуется найти определенный интегралот непрерывной функции ƒ(х). Если можно найти первообразную f(X) функции ƒ(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
- •Вопрос 36. Комплексная плоскость. Арифметические действия над комплексными числами. Комплексная плоскость
- •37 Тригометрическая и показательная формы комплексного числа
- •38 Понятие о дифференциальных уравнениях.Виды решения. Теорема Коши.
- •39 Неполные дефференциальные уравнения и методы решения
- •40 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •41 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •42. Первого порядка.
- •43 Однородные дифференциальные уравнения второго порядка
- •44.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •45. Числовые ряды.
- •46 Гармонический ряд. Ряд арифметической прогрессии.
- •47 Ряды с положительными членами
- •49. Функциональные ряды…… .
- •50. Степенной ряд. Признаки сходимости. Область сходимости.
- •51. Ряд Маклорена …
- •52. Ряд Тейлора…
- •53.Применение рядов для приближенного вычисления определенных интегралов
1 Функция нескольких переменных.
Функцией переменных определенной
на множестве и принимающей значения на множе-
стве называется такое соответствие между множе-
ствами D и Y, при котором для любой точки существует единственный элемент
Множество D называется областью определения функции (ООФ), Y — областью значений функции. Так, функция двух переменных
— множество точек плоскости.
2. Частное и полное приращение
Пусть дана Z=f(x,y) которая определена в области Д Придадим переменной х приращение ?ха переменную у оставим без изменения. Часным приращением фун Z=f(x,y) по переменной х называют величина ?хz которая определяется соотношением ?хz =f(x+?х,y)- f(x,y). Аналогично определяется часное приращение функции по переменной «у». ?уz =f(x, ?у+y)-f(x,y)
Полным приращением функции Z=f(x,y) наз величина ?Z которая определяется сотношением ?z =f(x+?х, ?у+y)-f(x,y)
3. Предел и непрерывность функции двух независимых переменных
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=ƒ(х;у) могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва у=х.
Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции z=ƒ(х;у) в точке. Обозначим Δх=х—х0, Δу=у—у0, Δz=ƒ(х;у)—ƒ(х0;у0). Величины Δх и Δу называются приращениями аргументов х и у, а Δz — полным приращением функции ƒ(х;у) в точке М0(х0;у0).
Функция z = ƒ(х;у) называется непрерывной в точке М0(х0;у0) є D, если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю.
Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям — подобные теоремы имели место для функций одной переменной
4.) Частные производные. Функции двух переменных.
Частная производная функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.
Для упрощения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.
Пусть в некоторой области D имеем функцию ; возьмем точку в этой области. Если мы будем считать y и z за постоянные значения y0 и z0, и будем менять x, то u будет функцией от одной переменной x (в окрестности x0); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке . Придадим этому значению x0 приращение Δx, тогда функция получит приращение , которое можно было бы назвать ее частным приращением (по x), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел . Эта производная называется частной производной функции по x в точке .
Аналогично определяются и частные производные функции по y и z в точке . Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной. Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных.