4.1. Использование матриц в matlab.
Базовой структурой данных в MATLAB является матрица (matrix): двухмернaя, имеющая прямоугольную форму структура данных, в которой хранится набор элементов данных в простом и легко доступном формате. Эти элементы данных могут быть числами, символами, логическими единицами true или false, или даже другими типами структур данных MATLAB. В MATLAB используются двухмерные матрицы для хранения отдельных чисел, а также, линейных последовательностей данных. В этих случаях размерности 1×1 и 1×n, соответственно, где n – длина числовой последовательности. MATLAB также поддерживает структуры данных, которые имеют больше чем два измерения. В MATLAB эти структуры данных имеют название arrays (массивы). MATLAB является вычислительной средой, основой которой является матрица. Все вводимы в MATLAB данные хранятся в форме матрицы или многомерного массива.
4.1.1. Создание матриц и базовые матричные операции.
Матрица – это двух мерный массив вещественных или комплексных чисел. В MATLAB имеется ряд функций, которые позволяют создавать различные типы матриц. Простейший способ создания матрицы в MATLAB – использовать оператор констора матрицы, []. Этот оператор создает строку в матрице при вводе элементов (показаны ниже как E) в скобках. Каждый элемент необходимо отделять запятой или пробелом:
row = [E1, E2, ..., Em] row = [E1 E2 ... Em]
Например, для того, чтобы создать матрицу из пяти элементов, напечатайте
A = [12 62 93 -8 22];
Для того, чтобы начать новую строку, надо закончить текущую точкой с запятой:
A = [row1; row2; ...; rown]
В этом примере вводится матрица, состоящая из 3-х строк и 5-и столбцов ( 3×5) чисел. Все строки должны иметь одинаковое число элементов,
A = [12 62 93 -8 22; 16 2 87 43 91; -4 17 -72 95 6]
A =
12 62 93 -8 22
16 2 87 43 91
-4 17 -72 95 6
Этот оператор констора матрицы может создавать только двухмерные матрицы (включая 0×0, 1×1, 1×n,).
Специализированные матричные функции.
Функция |
Описание |
ones |
Создает матрицу или массив, состоящий из всех единиц |
zeros |
Создает матрицу или массив, состоящий из всех нулей |
eye |
Создает матрицу с единицами на диагонали и остальными нулями |
аccumarray |
Распределяет элементы входной матрицы в соответствии с заданным положением в выходной матрице |
diag |
Преобразует вектор в диагональную матрицу |
magic |
Создает квадратную матрицу, в которой сумма элементов строк, или элементов столбцов, или элементов главных диагоналей одинакова |
rand |
Создает матрицу или массив случайных чисел имеющих равномерное распределнием |
randn |
Создает матрицу или массив случайных чисел или случайных массивов имеющих нормальное распределнием |
randperm |
Создает вектор (1-на-n матрицу) содержащий случайное размещение заданного числа целых |
Например, для создания волшебной квадратной матрицы 5×5 воспользумся функцией magic,
A = magic(5)
Конкатенация (объединение) матриц.
Матричная конкатенация – это объединение одной или большего числа матриц, для получения новой матрицы. Скобки [] используются не только как конструктор матрицы, но также как оператор конкатенации. Результатом выражения C = [A B] является конкатенация матриц A и B по горизонтали. Результатом выражения C = [A; B] является конкатенация матриц A и B по вертикали. This example constructs a new matrix C by concatenating matrices A and B in a vertical direction:
A = ones(2, 5) * 6; % матрица 2×5 все элементы которой равны 6
B = rand(3, 5); % матрица 3×5 состоящая из случайных чисел
C = [A; B] % конкатенация матриц A и B по вертикали
Функции матричной конкатенации
Функция |
Описание |
cat |
Конкатенация матриц вдоль заданного направления |
horzcat |
Конкатенация матриц по горизонтали |
vertcat |
Конкатенация матриц по вертикали |
repmat |
Конкатенация матриц по горизонтали и по вертикали |
blkdiag |
Создания блочной диагональной матрицы из существующих матриц |
Генерирование числовых последовательностей, оператор двоеточие (:).
Оператор двоеточие (first:last) генерирует матрицу 1×n (или вектор) последовательных чисел от первого числа до последнего. По умолчанию получаем последовательность чисел, увеличивающихся на единицу, каждое последующее на 1 больше предыдущего.
A = 10 : 15
A =
10 11 12 13 14 15
Последовательность чисел не обязательно должна состоять из целых положительных. Она может содержать отрицательные числа, а также дроби:
A = -2.5 : 2.5
A =
-2.5000 -1.5000 -0.5000 0.5000 1.5000 2.5000
Для генерирования числовых последовательностей с шагом, отличным от 1, оператор двоеточие может использоваться со указанием величины приращения элементов (first:step:last). Величина step указывает шаг приращения (уменьшения, если step является отрицательным числом) элементов последовательности чисел. Например,
A = 10 : 5 : 50
A =
10 15 20 25 30 35 40 45 50
Шаг может быть дробным или отрицательным числом,
A = 3 : 0.2 : 3.8
A =
3.0000 3.2000 3.4000 3.6000 3.8000
A = 9 :-1 : 1
A =
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Индексация матриц.
Для доступа к отдельному элементу матрицы задайте номер строки и номер столбца используя следующу запись A(n, m), где A – матричная переменная. Номер столбца всегда указывается первым, а номер столбца – втрым, например,
A = magic(4)
A =
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
для доступа к элементу в 4-й строке, 2-й колонке напечатайте
A(4, 2)
ans =
14
Для массивов, которые имет размерность большую двух, необходимо задавать дополнительные индексы, которые следуют за индексами строк и столбцов.
Линейная индексация матриц. Вы можете обращаться к элементу матрицы используя единственный индекс, A(k). MATLAB хранит матрицы и массивы не в той форме, в которой они появляются в командном окне, а как единый столбец элементов. Этот единый столбец составлен из столбцов матрицы, каждый столбц присоединяется к предыдущему. Так, матрица A
A = [2 6 9; 4 2 8; 3 5 1]
A =
2 6 9
4 2 8
3 5 1
в действительности хранится в памяти как последовательность
2, 4, 3, 6, 2, 5, 9, 8, 1
Элемент с строке 3, столбец 2 матрицы A (значение = 5) может быть идентифицирован как элемент 6 в действительной хранимой последовательности. Для доступа к этому элементу, есть возможность использовать стандартный синтаксис A(3,2), или есть возможность применить A(6), относящуюся к линейной индексации.
Обращение к последовательности элементов. Для матрицы A размерности 4×4, сумму элементов 4-го столбца можно вычислить набрав
A = magic(4);
A(1,4) + A(2,4) + A(3,4) + A(4,4)
Можно уменьшить размер выражения используя оператор двоеточие. Индексные выражения, включающие двоеточия, обращаются к последовательности элементов матрицы. Выражение,
A(1:m, n)
обращается к элементам в строках с 1-й по m-ю, n-го столбца матрицы A. Используя эту запись, можно вычислить сумму элементов 4-го столбца матрицы A более компактно:
sum(A(1:4, 4))
Обращение к элементам, которые не следуют друг за другом. Для этого используйте оператор двоеточия с величиной шага. Выражение m : 3 : n означает обращение к каждому третьему элементу матрицы. При линейной индексации имеем:
B = A;
B(1:3:16) = -10
B =
-10 2 3 -10
5 11 -10 8
9 -10 6 12
-10 14 15 -10
MATLAB поддерживает тип индексации массивом, при которой один массив используется как индекс в другом массиве. Этот тип индексации может быть основан на задании в массиве индексов либо номеров, либо размещения элементов. В приведенном ниже примере массив B состоит из индексов 1, 3, 6, 7, и 10 массива A. В этом случае, числовые значения элементов массива B соответствуют положению элементов в массиве A:
A = 5:5:50
A =
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
B = [1 3 6 7 10];
A(B)
ans =
5 15 30 35 50
Ключевое слово end (конец). MATLAB предоставляет ключевое слово end для доступа к последнему элементу массива. В предыдущем примере можно использовать запись
B(1:3:end) = -10
Описание всех элементов строки или столбца. Двоеточие само по себе относится ко всем элементам строки или столбца матрицы. Используя следующую запись может быть вычислена сумма элементов во 2-м столбце волшебной квадратной 4×4 матрицы A:
sum(A(:, 2))
ans =
34
Используя двоеточие в линейной индексации можно обратиться ко всем элементам всей матрицы.
A(:)
ans =
16
5
9
4
.
.
.
12
1
Получение информации о матрице.
Функции, возвращающие информации о форме матрицы.
Функция |
Описание |
length |
Возвращает величину самой длинной размерности |
ndims |
Возвращает число размерностей |
numel |
Возвращает число элементов |
size |
Возвращает длину каждой размерности |
Изменение размерности и формы матриц.
Способы увеличения размерности матрицы.
• Конкатенация новых элементов
• Размещение элементов за границами матрицы
Конкатенация наиболее подходит, если необходимо добавить к матрице новые элемнты или блоки, совместимые по размерности с исходной матрицей.
Для добавления одного или большего числа элементов к матрице, которые не совместимы по размерности с исходной матрицей, часто можно разместить новые элементы за границами исходной матрицы. MATLAB автоматически дополнит матрицу нулями, для того, чтобы она была прямоугольной.
Пример. Дана матрица 3×5,
A = [ 10 20 30 40 50; ...
60 70 80 90 100; ...
110 120 130 140 150];
ее необходимо дополнить 4-й строкой. Разместим новый элемент в 1-м столбце не существующей 4-й строки исходной матрицы. MATLAB расширит матрицу A добавлением новой 4-й строки, заполнив нулями колонки со 2-й по 5-ю.
A(4,1) =0
A =
10 20 30 40 50
60 70 80 90 100
110 120 130 140 150
0 0 0 0 0
Размерность матрицы может быть уменьшена за счет удаления строк и столбцов из матрицы присваиванием удаляемым строкам и столбцам значения пустого массива.
Пример. Дана матрица 4×4,
A = magic(4)
A =
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
из нее необходимо удалить 2-й столбец,
A( : , 2) = []
результат:
A =
16 3 13
5 10 8
9 6 12
4 15 1
Для удаления единственного элемента или последовательности элементов может быть использована линейная индексация. При этом результатом будет преобразование оставшихся элементов в вектор-строку,
A(2 : 2 : 10) = []
в результате получим:
A =
16 9 3 6 13 12 1
Функции, изменяющие форму матрицы
Функция |
Описание |
reshape |
Изменяет форму матрицы |
rot90 |
Вращает матрицу на 90 градусов |
fliplr |
Поворачивает матрицу относительно вертикальной оси |
flipud |
Поворачивает матрицу относительно горизонтальной |
flipdim |
Поворачивает матрицу относительно заданного направления |
transpose |
Поворачивает матрицу относительно ее главной диагонали, заменяя вектора-строки на вектора-столбцы, и наоборот |
ctranspose |
Транспонирует матрицу и заменяет каждый элемент комплексно-сопряженным |
Примеры применения функций, изменяющих форму матрицы.
Используя матрицу А, имеющую размерность 3×4 построить матрицу В размерности 2×6:
A = [1 4 7 10; 2 5 8 11; 3 6 9 12]
A =
1 4 7 10
2 5 8 11
3 6 9 12
B = reshape(A, 2, 6)
B =
1 3 5 7 9 11
2 4 6 8 10 12
Для транспонирования матрицы можно использовать как функцию transpose, так и оператор (.')s:
B = A.'
B =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
Скаляры. Скалярная величина – это любое отдельное вещественное или комплексное число, которое представлено в MATLAB как матрица размерности 1×1:
A = 5;
ndims(A)
ans =
2
size(A)
ans =
1 1
Функция isscalar определяет, содержит ли переменная скалярную величину:
isscalar(A)
ans =
1
Векторы. Вектор – это матрица, одина из размерностей которой равна единице, а другие больше единицы. Пример числового вектора-строки:
A = [5.73 2-4i 9/7 25e3 .046 sqrt(32) 8j]
size(A)
ans =
1 7
Пример числового вектора-столбца:
В = [5.36; 7.01; 9.44]
В =
5.36
7.01
9.44
size(В)
ans =
3 1
isvector(А), isvector(В)
ans =
1
ans =
1
Матричные операции.
Сложение и вычитание матриц
Для сложения и вычитания матриц необходимо, чтобы обе матрицы имели одинаковый размер или одна из них была скаляром. Сложение и вычитании матриц осуществляется поэлементно. Например,
A = pascal(3);
B = magic(3);
X = A + B
X =
9 2 7
4 7 10
5 12 8
Y = X – A
Y =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Векторное произведение и транспонирование
Вектор-строка и вектор-столбец могут быть перемножены, если они имеют одинаковую длину. Имеется два вида произведения векторов – внутреннее и внешнее. Результатом внутреннего произведения является вектор, а внешнего – матрица. Например:
v = [2 0 -1];
u = [3; 1; 4];
x = v*u
x =
2
y = u*v
y =
6 0 -3
2 0 -1
8 0 -4
Для матриц с вещественными элементами, операция транспонирования (оператор апостроф (')) меняет местами aij и aji. MATLAB использует также оператор апостроф (') для транспонирования матриц с комплексными числами, при этом кроме транспонирования комплексные числа заменяются на комплексно-сопряженные. Для транспонирования матриц с комплексными числами без замены на комплексно-сопряженные, используется оператор точка-апостроф (.'). Например,
B = magic(3)
X = B'
B =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
X =
8 3 4
1 5 9
6 7 2
Транспонирование превращает вектор-строку в вектор-столбец, и наоборот:
x = v'
x =
2
0
-1
y = u'
y =
3 1 4
Умножение матриц. Произведение матриц определяется таким образом, чтобы отражать состав базовфых линейных преобразований и обеспечивать компактное представление систем совместимых линейных уравнений. Матричное произведение матриц C = AB определено, когда размерность столбцов матрицы A равна размерности строк матрицы B, или когда один из множителей скаляр. Если A имеет размерность m×p и B – размерность p×n, их произведение C имеет размерность m×n. Например,
A=[1 2 3;4 5 6];
B=[1 2;3 4; 5 6];
С=A*B
С =
22 28
49 64
Матрица может быть умножена справа на вектор-столбец (длина вектора-столбца должна быть равна длине строки матрицы) и слева на вектор-строку (длина вектора-строки должна быть равна длине столбца матрицы), например:
A=[1 2 3;4 5 6];
u = [3; 1; 4];
Х = A*u
Х =
17
41
B=[1 2;3 4; 5 6];
v = [2 0 -1];
Y = v*B
Y =
-3 -2
Любая матриц и любой вектор могут быть умножены на скаляр, например,
A=[1 2 3;4 5 6];
7*A
ans =
7 14 21
28 35 42
v = [2 0 -1];
3*v
ans =
6 0 -3
Единичная матрица (общепринятое обозначение I) – это матрица любой размерности, все элементы главной диагонали которой равны единице, а остальные элементы равны нулю. Эти матрицы имеют свойство, AI = A и IA = A в случае соответствия размерностей A и I. В MATLAB функция eye(m,n) возвращает единичную прямоугольную матрицу m×n и eye(n) возвращает единичную квадратную матрицу n×n.
Нормы векторов и матриц. p-норма вектора x
вычисляется функцией norm(x,p). Эта функция определена для любого значения p > 1, наиболее часто используемые значения p 1, 2, и ∞. По умолчанию p = 2, что соответствует Евклидовой длине:
v = [2 0 -1];
[norm(v,1) norm(v) norm(v,inf)]
ans =
3.0000 2.2361 2.0000
p-норма матрицы A,
может быть вычислена для p = 1, 2, and ∞ функцией norm(A,p). Опять, по умолчанию p = 2:
C = fix(10*rand(3,2));
[norm(C,1) norm(C) norm(C,inf)]
ans =
19.0000 14.8015 13.0000