Лекция: "2.2"

Тема: " Математическое обеспечение "

Дисциплина: "Автоматизированные информационные системы"

Преподаватель: Селюн Е.В.

2011г.

2.2. Математическое обеспечение

2.2.1. Назначение, состав и структура математического обеспечения (МО)

МО в АС предназначено для реализации управляющих реше­ний, рассматриваемых как совокупность действий для достиже­ния поставленных целей в рамках технического задания.

Состав МО:

1. Математическое описание (формализация) задач.

2. Математические модели и их оптимизация.

3. Данные, подготовленные для описания исследуемых процессов.

4. Алгоритмы решения задач.

5. Анализ моделей и алгоритмов по результатам выполнен­ных работ на ЭВМ.

Система математического обеспечения АС должна выпол­нять следующие функции:

• реализацию любых процедур обработки данных;

• компоновку рабочих программ решения конкретных задач из стандартных программ и оригинальных блоков;

• организацию управления процессом решения задач и их комплексов;

• реализацию экономико-математических методов решения оптимизационных задач.

МО АС должна содержать средства ав­томатизации программирования задач, а также средства компо­новки рабочих моделей конкретных систем из стандартных про­грамм и их обслуживания.

В МО по последовательности проектирования АСУ рассмат­ривают три уровня:

• математическое обеспечение конкретной АС, которой определяется мощность АС;

• автоматизацию проектирования АС;

• автоматизацию программирования и организацию работ на ЭВМ.

Разработка МО предполагает выполнение следующих этапов:

• создание модели системы;

• разработку укрупненного алгоритма;

• разработку алгоритмов отдельных элементов МО;

• проверку достоверности алгоритмов (выбор вычислитель­ных средств, проведение программирования, проверку достовер­ности программы).

Прежде всего выполняют постановку задачи моделирования:

• определение требований к исходной информации, ее сбор;

• выдвижение гипотез и предположений;

• определение параметров и переменных модели;

• обоснование выбора показателей и критериев эффективно­сти системы;

• определение содержания и описание модели (основной документ).

Так как АСУ является информационной системой, то ее функционирование есть последовательность действий по обра­ботке информации, предназначенной для управления. Поэтому рассмотрим структуру МО на примере АСУ. МО АСУ включает совокупность методов и средств, позволяющих строить экономи­ко-математические модели задач управления объектом: методы + модели + алгоритмы обработки информации.

2.2.2. Формализация и моделирование

Основным фактором успешного решения задач является научно обоснованная формализация задачи. Наиболее трудной является формализация задач на уровне спецификаций, когда необходимо содержательное представление задачи перевести в формальное описание. Решение формализованной задачи позволяет получить чёткие оценки ожидаемых результатов. Формализация успешно осуществляется на основе математического моделирования, которое является неотъемлемой частью науки управления, успешно реализуемой в рамках ИСО1.

Существует множество различных типов моделей: физические, аналоговые, интуитивные и т. д. Особое место среди них занимают математические модели (ММ), которые, по мнению академика А.А. Самарского, и являются самым большим достижением научно-технической революции XX в.

Модель — это информационный образ реального объекта, воспроизводящий данный объект (систему) с определенной степенью точности и в форме, часто отличной от формы самого объекта.

Назначение модели — поиск значений управляемых переменных, оптимизирующих критерий эффективности операций.

Создание моделей реальных бизнес проектов и объектов управления является высшей точкой операционного подхода к решению задач информационного управления.

Модель позволяет выявить альтернативы решения задачи и оценить результаты, к которым они приводят, определить данные, необходимые для оценки имеющихся альтернатив. Это обеспечивает получение обоснованных выводов. Модель является средством формирования четкого представления о действительности.

1. Модель может быть физической копией реального объекта. В таких случаях говорят о физическом моделировании, физических моделях (копии самолетов, автомобилей — уменьшенные или увеличенные копии). Их свойства близки свойствам реального объекта, а стоимость гораздо меньше.

2. Аналоговые модели — аналог исследования объекта, в той или иной форме воспроизводящий функции реального объекта (график, описанная связь между величинами).

3. Математические модели (ММ) — совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т. д.) и связей между ними, отражающих в символьной форме важнейшие для исследования свойства объекта.

Так, формула Р = (где Р — уровень рентабельности, nр — прибыль, U — издержки производства) — математическая модель.

ИСО — метод исследования операций. 94 дель, описывающая одно из важнейших свойств действующего предприятия.

4. Семантические модели отражают функции исследования объекта в виде семантических алгоритмов (правил, свойств, признаков), описанных в словесной форме.

Моделирование — способ системного анализа проектирования, при котором используют математические или физические модели функционирования всей системы или ее части. Полнота и реальность модели зависят от тех вопросов, на которые надо ответить, от степени изученности системы, а также среды ее функционирования.

Математическое моделирование (ММ) — важнейший трудоемкий и наукоемкий процесс при создании и сопровождении сложных автоматизированных информационных систем. ММ позволяет в должной степени оценить вероятность успеха, связанные с этим риски, прибыли и ущербы. В результате правильного моделирования углубляются и моделируются знания о системе, о связи возможных результатов с различными характеристиками этой системы, условиях ее создания и функционирования, степени достижения целей, которые перед ней ставились. Все вышеперечисленное позволяет заказчику правильно и доказательно сформулировать требования технического задания (ТЗ), разработчику — рационально их выполнить без излишних затрат ресурсов, а пользователю — максимально эффективно реализовать на практике заложенный потенциал системы.

Математическое моделирование — процесс создания математических моделей и оперирование ими с целью получения требуемых сведений о реальном объекте. Математическая модель должна отражать сущность моделируемой проблемы управления.

Последовательно осуществляют разработку математической модели и ее машинную реализацию:

1. построение концептуальной модели;

2. разработку алгоритма модели системы;

3. разработку программы реализации модели системы;

4. проведение машинных экспериментов с моделью системы.

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности и экономичности (меньше затрат ресурсов).

Классификация математических моделей приведена в табл. 2.2.

Структурные математические модели отображают структур­ные свойства объекта, а также топологические и геометрические.

В топологических моделях отображаются состав и взаимо­связи элементов объекта. Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т. п. (например, в транспортной системе — расписания).

Функциональные математические модели предназначены для отображения процессов (физических или информационных), протекающих в объекте при его функционировании или изготов­лении. Обычно функции модели содержат алгоритмы, связы­вающие переменные, внутренние, внешние или выходные пара­метры. Выделение аспектов описания позволяет выделять ком­плексы алгоритмов, относящихся к той или иной деятельности объекта, и приводят декомпозицию системы к определенному признаку.

Деление объектов на иерархические уровни приводит к определенным уровням моделирования. В зависимости от мес­та и иерархии описаний математические модели делятся на микро-, макро- и метамодели. Эти модели по своей структуре и содержащимся в них математическим объектам могут не раз­личаться, что позволяет применять одинаковые алгоритмы их решения. Различие состоит в том, что на более высоком уровне компоненты модели принимают вид сложных совокупностей элементов предыдущего уровня. Этими же аспектами опреде­ляется и разделение моделей по степени детализации описаний объектов.

По способу представления свойств объектов выделяют мате­матические модели: аналитические, алгоритмические, имитаци­онные, семантические.

В исследованиях операций, как правило, используются мате­матические модели.

Автоматизированное проектирование оптимальных объектов и систем на основе математических методов с использованием компьютеров содержит две основные задачи:

• разработку математической модели объекта, содержащей все основные технико-экономические требования к создаваемому объекту (работоспособность, технологичность, допустимая стои­мость и т. п.)

• организацию такого вычислительного процесса, который автоматизирует выполнение всех требований математической модели.

Операционная модель — это совокупность алгоритмов, опи­сывающих функциональные свойства проектируемого объекта, отвечающего всем требованиям, предъявляемых в рамках кон­кретных задач проектирования. Операционная модель выражает зависимость критерия эффективности операции от выбранных параметров, а также условий проведения операций. Функцио­нально это выражается зависимостью W = = F(Aу, X,), где W — выражения критерия эффективности операции; F — оператор (символ модели); А_} — информация, вводимая в модель, на ко­торую оператор не оказывает влияние; X, — управляемые па­раметры.

Схема метода построения операционных математических моделей приведена на рис. 2.14.

В аналитических моделях критерий связан с величинами A₃w X/ математическими зависимостями, по которым можно опреде­лить экстремальное значение либо непосредственно, либо с по­мощью численных методов на ЭВМ. Связь между W и X/ и Aj мо­жет быть очень сложной.

Общих математических методов нахождения экстремума функции любого вида при произвольных ограничениях не суще­ствует. Но для целевой функции и системы ограничений, обла­дающих определенными свойствами, имеются специальные ме­тоды, исследуемые математическим программированием.

Под общей задачей математического программирования понимают задачу отыскания глобального экстремума функции /„ переменных х_ь х„ на множестве Мл-мерного простран­ства. При этом функция f(x) называется целевой функцией, а множество М обычно задается с помощью уравнений и нера­венств вида: