5.2.Планування активного експерименту.

Перевагою пасивних методів перед активними є те, що при їхньому використанні не потрібно спеціального втручання в хід технологічного процесу. Однак ця перевага не компенсує недостатньої вірогідності одержуваних математичних моделей. Тому в моделюванні був розвинутий спеціальний напрямок — планування активного експерименту, що дозволяє ефективно використовувати наявні експериментальні ресурси.

Успішне проведення експерименту в значній мірі залежить від правильного вибору плану експерименту, що, крім того визначає статистичний аналіз результатів. Вибір методу аналізу залежить від алгебраїчної моделі, що підходить до різних способів обробки даних, і від відомого чи передбачуваного розподілу ймовірностей помилок вимірювання.

Як і при пасивному, в активному експерименті, геометричним образом сукупності незалежних змінних х і залежної змінної у є простір -го виміру, де n — число незалежних змінних; -й вимір відноситься до у. У цьому просторі залежності у від х відповідає n-мірна поверхня, названа поверхнею відгуку (результат досліду розглядається як відгук системи на задану сукупність незалежних змінних, чи входів).

План експерименту вказує розташування дослідних точок у n-мірному просторі незалежних змінних (або умови всіх дослідів, які необхідно провести). Найчастіше план експерименту задається у виді матриці планування — прямокутної таблиці, кожен рядок якої відповідає умовам визначеного досліду, а n стовпців — значенням однієї з незалежних змінних у різних дослідах. У -ому стовпці приводяться отримані в дослідах значення залежної змінної. Приклад матриці планування експерименту:

№ досліду
1	3	7	1	75
2	4	7	2	78
3	4	9	1	93
4	3	9	2	97

Тут у чотирьох дослідах досліджується вплив на вихід у трьох факторів-входів: , і .

При одній незалежній змінній план спрощений і найчастіше зводиться до рівномірного розподілу точок через рівні інтервали. У випадку більш ніж трьох змінних (п>3) план ускладнюється, і при його побудові прагнуть одержати деякі оптимальні властивості:

- максимальну точність (мінімальну дисперсію) у досліджуваній області при заданому числі дослідів, або при мінімальному числі дослідів одержати задану точність;

- незалежність (некорельованість) оцінок впливу різних факторів.

5.3.Повний факторний експеримент.

Найбільш розповсюджений наступний порядок побудови планів. На першому етапі вибирається центр досліджуваної області (центр плану) і в нього переноситься початок координат; вибирається інтервал варіювання по кожній змінній — відстань по даній осі від центра до експериментальної точки. Вибір центра плану й інтервалу варіювання лежить поза математичною теорією. Цей етап повинний зважуватися експериментатором на основі знання об'єктів.

На наступному етапі роблять операцію приведення (кодування) змінних. Вона полягає в тому, що всі координати центра плану дорівнюють нулю, а інтервали варіювання ; приймають за одиницю. Кодовані змінні зручні тим, що вся обробка результатів дослідів проводиться в стандартній формі, що не залежить від конкретних умов задачі; це істотно спрощує обчислення. Перехід від некодованих (натуральних) значень змінних до кодованих і назад виконується за формулою

і відповідно .

Розглянемо у приведених координатах найбільш часто застосовуваний план 1-го порядку для двох незалежних змінних і . Розташування дослідних точок показане на мал. 4.10, а. Точки розташовуються у вершинах квадрата, центр О якого збігається з центром плану, сторони паралельні осям і рівні 2. Матриця планування має наступний вид:

№ досліду
1	+1	+1
2	+1	-1
3	-1	+1
4	-1	-1

На практиці для скорочення запису часто замість «+1», «-1» пишуть «+», «—». У таких позначеннях матриця планування 1-го порядку буде мати вид:

1	+	+
2	+	-
3	-	+
4	-	-

Основні особливості і властивості даного плану полягають в наступному:

1. План побудований таким чином, що кожна незалежна змінна приймає в дослідах тільки два значення (+1 чи —1), тобто варіюється на двох рівнях (верхньому і нижньому). При цьому в чотирьох дослідах маються всі можливі попарні комбінації цих рівнів обох змінних. Чотири досліди, поставлені за таким планом, називають повним факторним експериментом на двох рівнях для двох факторів; скорочено позначається ПФЕ .

2. При проведенні дослідів за планом ПФЕ розрахунок коефіцієнтів рівняння методом найменших квадратів спрощується. Причому з цих дослідів можна знайти коефіцієнти не тільки лінійного рівняння, але і рівняння, котре містить ще один коефіцієнт

,

що покращує точність моделі.

У теорії експерименту коефіцієнти, що містять добутки факторів, називають взаємодіями. Такі коефіцієнти необхідно враховувати, тому що вони показують, наскільки вплив одного фактора залежить від значення іншого.

3. При заданих точності експерименту, числі дослідів і межах вимірювання факторів рівняння регресії виявляється більш точним, ніж якщо його одержувати за експериментом з іншим розташуванням дослідних точок (оптимальність використання експериментальних ресурсів).

4. Важлива особливість плану — некорельованість факторів. Вона базується на ортогональності матриці планування. Усі стовпці матриці планування (і весь план у цілому) ортогональні. З ортогональності однозначно випливає взаємна незалежність (некорельованість) усіх факторів і відповідно всіх коефіцієнтів рівняння регресії.

Вибір матриці планування у виді повного факторного експерименту при використанні в якості моделі полінома першого ступеня забезпечує оптимальне планування на підставі наступних властивостей: усі розрахунки й обчислення проводяться просто; коефіцієнти регресії визначаються незалежно один від одного; дисперсії всіх коефіцієнтів регресії рівні і мінімальні; дисперсія вихідного параметра не залежить від обертання системи координат у центрі плану, а тільки від радіуса досліджуваної сфери факторного простору (властивість рототабельності).

Правильний вибір центра експерименту, інтервалів і рівнів варіювання факторів має вирішальне значення для достовірності побудованої математичної моделі. Основна вимога до інтервалу варіювання полягає в тому, щоб він не був менше подвоєної середньої квадратичної помилки фактора. Звичайно інтервал варіювання вибирається на підставі апріорної інформації і потім уточнюється після одержання математичної моделі. Удалий вибір інтервалу варіювання факторів гарантує достовірність математичної моделі об'єкта.

Важливим елементом розробки плану експерименту є вибір числа рівнів для кожного фактора. Найбільше поширення одержало планування факторів на двох рівнях, коли як рівні використовуються верхня і нижня границі інтервалу варіювання. Постановка експериментів за такими планами називається дворівневим повним факторним експериментом типу , де n— число факторів. Тоді для двох факторів число експериментів , для трьох і т.д.

Розглянемо побудову матриці планування для повного факторного експерименту при трьох факторах (ПФЕ, ). Щоб перебрати всі комбінації для трьох факторів на двох рівнях, випишемо два рази комбінації для двох факторів (ПФЕ, ): один раз у сполученні зі значенням , другий — зі значенням (мал. 4, 10, б). Виходить наступний план (матриця ПФЕ, ):

№ досліду
1	+1	+1	+1
2	+1	-1	+1
3	-1	+1	+1
4	-1	-1	+1
5	+1	+1	-1
6	+1	-1	-1
7	-1	+1	-1
8	-1	-1	-1