2.3. Показатели формы распределения

Если непрерывная случайная величина имеет плотность распределения

, (5)

то она подчиняется закону нормального распределения. Нормальное распределение графически представляется в виде симметричной колоколообразной кривой, которая асимптотически приближается к оси абсцисс. Для построения кривой нормального распределения надо знать два параметра - и σ. Закон нормального распределения предполагает, что отклонение от среднего значения является результатом большого количества мелких отклонений, что позитивные и негативные отклонения равновероятны и что наиболее вероятным значением всех измерений является их средняя арифметическая.

В кривой нормального распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, поэтому она нашла широкое применение в статистике. Многие статистические гипотезы сформулированы и доказаны именно по отношению к нормальным распределениям.

Фактическая форма кривой для любого распределения зависит от значений и σ, формы кривых для различных распределений различны. Сделать вывод о том, можно ли данное эмпирическое распределение отнести к типу кривых нормального распределения, позволяют показатели асимметрии и эксцесса.

Асимметрия. В экономической статистике нормальное распределение встречается крайне редко. Чаще всего наблюдается отклонение от нормального распределения (рис.2), т.н. асимметрия распределения. Степень асимметрии определяется с помощью коэффициента асимметрии

, (6)

где – центральный момент третьего порядка ( ). Оценка существенности этого показателя дается с помощью средней квадратической ошибки: . Если превышает более, чем в три раза (по модулю), то асимметрия считается существенной.

Чаще используется другая формула расчета коэффициента асимметрии:

(7)

Коэффициент асимметрии может изменяться от –3 до +3. Если коэффициент асимметрии существенно отличается от 0, то распределение несимметрично, в то время как нормальное распределение абсолютно симметрично (асимметрия равна 0). Асимметрия распределения с длинным правым хвостом положительна. Если распределение имеет длинный левый хвост, то его асимметрия отрицательна. На практике асимметрия считается значительной, если коэффициент асимметрии превышает по модулю 0,25.

Эксцесс. Коэффициент эксцесса измеряет "пикообразность" распределения.

(8)

где – центральный момент четвертого порядка

Если эксцесс значимо отличен от 0, то функция плотности либо имеет более закругленный, либо более острый пик, чем пик плотности нормального распределения (рис.2).

Обычно, если эксцесс положителен, то распределение островершинное, если отрицательный – то плосковершинное. Эксцесс нормального распределения равен 0.

Для проверки близости теоретического и эмпирического распределения (например, проверки близости данного эмпирического распределения к нормальному распределению) используются также специальные показатели, называемые критериями согласия. Распространенным критерием согласия является критерий А.Н.Колмогорова:

, (9)

где

D – максимум разности между накопленными и теоретическими частотами,

n – сумма эмпирических частот.

По таблице вероятности d -критерия находят соответствующую вероятность р. Если найденной d соответствует значительная по величине вероятность р, то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением несущественно.