Контрольные вопросы и задания

1. Доказать, что для любых множеств E, F, G справедливы равенства:

а) E(F  G) = (EF)  (EG); б) E(F  G) = (EF)  (EG);

в) (F  G)E = (FE)  (GE); г) (FG)E = (FE)  (GE).

2. Справедливы ли равенства:

а) (AB)  (CD) = (A  C)  (B  D);

б) (AB)  (CD) = (A  C)  (B  D)?

3. Доказать, что:

а) (A \ B)C = (AC) \ (BC); б) A(B \ C) = (AB) \ (AC).

4. Пусть множества A и C непусты. Доказать, что, для того чтобы A  B и C  D, необходимо и достаточно, чтобы вы-полнялось включение AC  BD. Остается ли в силе это утвер-ждение, если A или C пусто?

5. Доказать, что если A  P, B  Q, то

AB = (AQ)  (BP).

Доказать тождества (6-12).

6. (A  B)  (C  D) = (AC)  (BD).

7. (A  B)  (C  D) = (AC)  (BC)  (AD)  (BD).

8. AB = (AD)  (CB), где A  C и B  D.

9. S² \ (AB) = [(S \ A) S]  [S (S \ B)].

10. А_i  B_i= ( А_i  B_i).iI iI iI

11.  А_k B_t=  ( А_k  B_t). kK tT k,tKT

12.  А_k B_t=  ( А_k  B_t ). kK tT k,tKT

13. Пусть f : XY. Доказать, что отображение g : X XY, определяемое равенством g(x) = (x, f(x)), инъективно.

14. Найти  _R, _R, R ^–1, R o R, R o R ^–1, R ^–1 o R для отношений:

а) R = { (x, y) | x,yN, x делит y };

б) R = { (x, y) |  x, yN, y делит x };

в) R = { (x, y) |  x, yR, x + y  0 };

г) R = { (x, y) |  x, yR, 2x  3y };

д) R = { (x, y) |  x, y[–/2; /2],  y  sin x };

е) R = { (x, y) |  x, yR, 9x²  4y² };

ж) R = { (x, y) |  x, yR, y2 – 4y + 5 < 2x };

з) R = { (x, y) |  x, yR,  4x² – y²  1 };

и) R = { (x, y) |  x, yR, xy < 3 };

к) R = { (x, y) |  x, yN, x – y делится на m };

л) R = { (x, y) |  x, yR, x – [x] = y – [y] };

м) R = { (x, y) |  x, yN, x и y имеют общий делитель };

н) R = { (x, y) |  x, yR, 4x² + 9y² < 36 }.

15. Доказать, что:

а) _R=   R=  _R = ; б) _R^–1 =_R, _R^–1=_R;

в) _RR= R₁^-1 (_R_R); г) _RR= R₂(_R_R);

д) если B то _AB =A; е) если A то _AB=B.

16. Доказать, что R  R^d для произвольного отношения R .

17. Доказать включение R^–1 R(R  R^–1).

18. Доказать, что для любых бинарных отношений:

а) Qo(R_i ) = (Q o R_i); I I i  I б) Q o (  R_i)  (Q oR_i); i I i  I

в) (R_i)oQ = (R_i oQ); i I i  I г) (R_i)oQ  ( R_ioQ). i I i  I

19. Доказать, что для того, чтобы отношение R  AB было взаимно однозначным соответствием между A и B, необходимо и достаточно, чтобы R o R^–1 = R^–1 o R = .

20. Пусть X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Построить матрицу и граф следующих бинарных отношений:

а) R = { (x_i ,x_j) | x_i ,x_jX, x_i делится на x_j };

б) R = { (x_i ,x_j) | x_i ,x_jX, x_i >x_j };

в) R = { (x_i ,x_j) | x_i ,x_jX, x_i и x_j имеют общий делитель};

г) R = { (x_i ,x_j) | x_i ,x_jX, x_i x_j 15};

д) R = { (x_i ,x_j) | x_i ,x_jX,  n: x_j =x_i ⁿ }.

21. Для бинарных отношений R, определенных в задаче 15 п.1 построить множества G_R(x) и H_R(x).

22. Пусть x=(x₁,x₂) и R = { (x,y) | , x,yR, (x,y)  k}. По-

строить верхний и нижний срезы отношения R, если:

а) (x,y) = ; б) (x,y) = max | x_i  y_i |; i  i

в) (x,y) = | x_i  y_i |. I