Побутова математичної моделі задачі оптимізації
Мета : Навчитися розробляти математичну модель задачі за словесним описом та розв’язувати її засобами “Пошук рішення” в Excel.
Підприємство виготовляє вироби типів В1, В2, В3 для замовника. Потреба в них становить 300, 500 і 400 одиниць відповідно. Запаси сировини на вироби В1 обмежені і тому їх можна виготовити не більш ніж 350 одиниць. Всі вироби послідовно виготовляються на станках С1,С2 і С3. Норма часу обробки, планова собівартість оптова ціна підприємства на вироби приведені в таблиці.
Плановий фонд часу роботи станків є відповідно 6048, 6048 та 3932 години.
Таблиця 4.1.14
Показники |
Вироби та способи обробки |
||||||||
В1 |
В2 |
В3 |
|||||||
Норма обробки в годинах:
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
3 2 7 |
7 3 5 |
0 6 6 |
8 3 9 |
4 2 3 |
5 0 6 |
4 2 5 |
3 3 6 |
2 1 3 |
|
Планова собівартість |
13 |
15 |
11 |
26 |
20 |
25 |
19 |
20 |
18 |
Оптова ціна підприємства (у.о.) |
16 |
25 |
20 |
||||||
Побудуйте модель, на основі якої можна сформулювати екстремальну задачу знаходження плану завантаження станків, що забезпечить максимальний прибуток від продажу готової продукції.
Розв’яжіть задачу за допомогою засобів EXCEL “Пошук рішення”.
Розв’язання
Нехай
х1 –
деталей типу В1 оброблено першим способом,
х2 –
деталей типу В1 оброблено другим способом,
х3 –
деталей типу В1 оброблено третім способом,
y1
– деталей типу В2 оброблено
першим способом, y2
– деталей типу В2 оброблено
другим способом, y3
– деталей типу В2 оброблено
третім способом, z1
– деталей типу В3 оброблено
першим способом, z2
– деталей типу В3 оброблено
другим способом, z3
– деталей типу В3 оброблено
третім способом. За умовою задачі
x1+x2+x3>=300,
y1+y2+y3>=500,
z1+z2+z3>=400,
x1+x2+x3<=350.
На станку с1 буде затрачено
часу на обробку деталей:
3x1+7x2+0x3+8y1+4y2+5y3+4z1+3z2+2z3.
На станку с2
буде затрачено часу на обробку деталей:
2x1+3x2+6x3+3y1+2y2+0y3+2z1+3z2+1z3.
На станку с3
буде затрачено часу на обробку деталей:
7x1+5x2+6x3+9y1+3y2+6y3+5z1+6z2+3z3.
Так, як є обмеження на фонд
робочого часу станків, то повинні
виконуватися нерівності:
3x1+7x2+0x3+8y1+4y2+5y3+4z1+3z2+2z3<=6048;
2x1+3x2+6x3+3y1+2y2+0y3+2z1+3z2+1z3<=
6048; 7x1+5x2+6x3+9y1+3y2+6y3+5z1+6z2+3z3<=3932.
Прибуток від реалізації
виробів становитиме:
16(x1+x2+x3)-13x1-15x2-11x3+25(y1+y2+y3)-26y1-20y2-25y3+20(z1+z2+z3)-19z1-20z2-18z3=
3x1+x2+5x3-y1+5y2+z1+2z3.
Таким чином, отримали наступну
екстремальну задачу: Знайти максимум
функції F= 3x1+x2+5x3-y1+5y2+z1+2z3
max
при наступних обмеженнях:
x
1+x2+x3>=300
y1+y2+y3>=500
z1+z2+z3>=400
x1+x2+x3<=350
3x1+7x2+0x3+8y1+4y2+5y3+4z1+3z2+2z3<=6048
2x1+3x2+6x3+3y1+2y2+0y3+2z1+3z2+1z3<= 6048
7x1+5x2+6x3+9y1+3y2+6y3+5z1+6z2+3z3<=3932
x1>=0, x2>=0, x2>=0
y1>=0, y2>=0, y2>=0
z1>=0, z2>=0, z2>=0
Заповнюємо клітини таблиці так, як показано на малюнку
В клітину В15 заносимо формулу: =B5*B13+C5*C13+D5*D13+E5*E13+F5*F13+ G5*G13+H5*H13+I13*I5+J13*J5
В клітину В16 заносимо формулу: =B6*B13+C6*C13+D6*D13+E6*E13+F6*F13+ G6*G13+H6*H13+I6*I13+J13*J6
В клітину В17 заносимо формулу: =B7*B13+C7*C13+D7*D13+E7*E13+F7*F13+ G7*G13+H7*H13+I13*I7+J13*J7
В клітину К13 заносимо формулу: =B10*B13+C10*C13+D10*D13+E10*E13+ F10*F13+G10*G13+H10*H13+I10*I13+J10*J13
В решта клітинах формули показані повністю
Викликаємо команду меню Сервис-Поиск решения.
Встановлюємо параметри пошуку розв’язку так, як показано на малюнках. Додавання нових обмежень здійснюємо через кнопку Добавить. Кнопкою Параметри встановлюємо наступні параметри роботи моделі
Для знаходження розв’язку натискаємо кнопку Выполнить. Отримали:
Видно, що задача розв’язку немає.
З таблиці
x1 |
x2 |
x3 |
y1 |
y2 |
y3 |
z1 |
z2 |
z3 |
F |
0 |
300 |
0 |
0 |
410,667 |
0 |
0 |
0 |
400 |
3153 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4542,7 |
<= |
6048 |
|
300 |
>= |
300 |
|
|
|
2121,3 |
<= |
6048 |
|
300 |
<= |
350 |
|
|
|
3932 |
<= |
3932 |
|
410,667 |
>= |
500 |
|
|
|
|
|
|
|
400 |
>= |
400 |
|
|
|
Видно, що не виконується обмеження на випуск виробів типу В2
Класичні методи дослідження функцій на оптимум.
Мета : навчитися знаходити оптимум нелінійної функції методами класичної математики за допомогою першої та другої похідної
завдання 2 (лаб 2) виконуються без використання комп’ютера,
Розв’язок:
1. Знайдемо стаціонарні точки:
Розв’язком системи рівнянь є точка (x1*, x2*, x3*)=(0.5; 0; 0).
2. Матриця других похідних має вигляд:
3. Перевіримо кутові мінори:
4. Так, як кутові мінори мають різні знаки, то в стаціонарній точці (x1*, x2*, x3*)=(0.5; 0; 0) немає екстремуму.
Лабораторні роботи 3-8