4. Непряме доведення

*Непрямим називають доведенням, в якому істинність тези обґрунтовується хибністю антитези. *Антитеза – твердження, яке є хибним тоді і тільки тоді, коли теза є істинною.

При цьому антитеза може бути виражена двоїсто: 1) якщо тезою є твердження “А”, то антитезою буде його заперечення – “~А”; 2) антитезою для твердження “А”, яке входить до складу альтернатив (А ÚÚ В ÚÚ С), будуть твердження “В” і “С”.

Це двоїсте вираження антитези поділяє непряме доведення на два види: 1) апагогічне( від грецького απαγωγοѕ - ухилення, відведення), тобто доведення методом “від супротивного” та 2) розділове доведення, тобто доведення методом виключення.

1. В апагогічному доведенні замість того, щоб доводити істинність тези “А” допускають істинність антитези “~А” і будують пряме доведення цього твердження. Якщо в ході доведення між будь-якими двома пунктами (твердженнями) виникає суперечність (наприклад, “В” і “~В”), то це означає, що допущення істинності антитези (~А) є помилковим, і істинною є теза (А). Дійсно, з двох суперечливих висловлювань “А” і “~А” лише одне є істинним (закон виключеного третього). Формула (В Ù~В) – це формула суперечність (завжди хибна формула), а вона може бути логічним наслідком тільки хибної формули (~А). Тобто:

~А ® (В Ù~В)

0

1

0

У цьому випадку між “~А” та “В Ù~В” існує відношення логічного слідування (~А ├ (В Ù ~В)). В супротивному випадку відношення логічного слідування не існує, бо формула:

~А ® (В Ù~В)

1

0

0

буде завжди хибною формулою.

Таким чином: теза А буде істинною.

~А	А
0	1

Побудуймо апагогічне доведення для такого міркування:

В Ù ~F, ~A ® C, ~C Ú E, E ® F a├ A.

Припустимо, що “~A”, тобто, що істинною є антитеза.

1. В Ù ~F.

2. ~A ® C. аргументи;

3. ~C Ú E.

4. E ® F.

5. ~A - допущення істинності антитези;

6. С - mp з 2 та 5;

7. Е - mtp з 3 та 6;

8. F - mp з 4 та 7;

9. ~F - УК з 1.

F Ù ~F - ВК до 8 та 9 - формула – суперечність.

Оскільки між пунктами 8 та 9 виникла суперечність, а кожне з цих тверджень отримане за відповідними правилами виводу, то це означає, що наше припущення істинності антитези “~А” є помилковим. Отже, істинною є теза “А”.

2. В розділовому доведенні істинність тези обґрунтовується шляхом послідовного доведення хибності всіх членів розділового висловлювання (диз’юнкції), крім одного.

Наприклад, необхідно довести тезу “Це вчинив А”. Маємо такі аргументи (підстави): 1) Це могли вчинити тільки А, або В, або С; 2) Встановлено, що до цього не причетні ні В, ні С.

Використавши структуру розділово-категоричного виводу (modus tollendo ponens):

Це могли вчинити тільки А, або В, або С.

Ні В, ні С цього не робили.

Це зробив А.

Висновок буде істинним, якщо в розділовому засновку враховано всі можливі альтернативи. Оскільки для modus tollendo ponens смисл сполучника “або” (диз’юнкція чи сильна диз’юнкція) не має значення для правильності виводу, то дане міркування запишемо у вигляді такої структури виводу:

А Ú В Ú С, ~В Ù ~С.

А

Ця структура виводу є правильною, отже, при істинних засновках, висновок теж буде істинним.