30

Введение

Курс «Теория электрических цепей» является одной из базовых дисциплин, необходимых для теоретической и профессиональной подготовки инженеров в промышленной электронике, и служит основой для последующего изучения многих специальных курсов. Целью курса является изучение фундаментальных методов анализа и синтеза линейных систем, а также процессов обработки и преобразования сигналов в таких системах.

Курс «Теория электрических цепей» является обязательной дисциплиной для студентов всех форм обучения специальности «Промышленная электроника» физико-технического факультета УО «Гродненский государственный университет им. Янки Купалы». Данное пособие в первую очередь предназначено студентам заочного отделения, изучающим этот курс в течение двух семестров, поскольку в нем в доступной форме изложены основные разделы теоретического материала, необходимые им для самостоятельной подготовки контрольных работ и курсовых проектов.

Настоящее пособие позволит студентам изучить и освоить вопросы классификации сигналов и цепей; принципы математического описания физических процессов в линейных системах; временной, спектральный и операторный методы анализа этих систем; основные положения теории синтеза электронных схем, в том числе и активных фильтров; и, наконец, основы теории согласованной фильтрации.

Глубокое понимание и овладение вопросами данного курса необходимо для теоретической и практической подготовки инженеров во всех отраслях промышленности, поскольку они служат логическим фундаментом для изучения последующих дисциплин и дальнейшей профессиональной деятельности.

Несмотря на то, что промышленная электроника является быстро развивающейся отраслью знаний как в научном, так и в техническом плане, традиционные идеи и методы, принципиальные вопросы анализа и синтеза электронных схем остаются необходимыми для инженеров, и их изучению, безусловно, с учетом современных требований и тенденций развития данной сферы, посвящен курс «Теория электрических цепей» и данное учебно-методическое пособие.

1. Разновидности электрических сигналов и цепей

1.1. Общая классификация сигналов.

1.2. Общая классификация электрических цепей и этапы их анализа.

1.3. Основные свойства линейных, параметрических и нелинейных цепей.

1. Общая классификация сигналов

Изучение каких-либо новых объектов или явлений, как правило, предполагает проведение их предварительной классификации. Для этого, в первую очередь, необходимо выработать критерии классификации и установить соответствующую терминологию. Можно сказать, что электрический сигнал представляет собой физический (электрический) процесс, несущий в себе информацию. Количество информации, которое можно передать с помощью некоторого сигнала, зависит от основных его параметров: длительности, полосы частот, мощности и т.д.

Для того, чтобы сигналы как физические процессы можно было бы сделать объектами теоретического изучения и расчетов, необходимо создать математическую модель исследуемого сигнала, т.е. функциональную зависимость, аргументом которой, как правило, является время (s(t), u(t), f(t)). Математическая модель позволяет абстрагироваться от конкретной природы носителя сигнала. Функции, описывающие сигналы, могут принимать как вещественные, так и комплексные значения, поэтому можно говорить о вещественных и комплексных моделях сигналов. Знание математических моделей сигналов дает возможность их сравнения, установления тождества и различий и проведения классификации.

Итак, первым критерием классификации сигналов является их размерность. Различают одномерные и многомерные сигналы. Сигнал, описываемый одной функцией времени, называется одномерным (напряжение на зажимах какой-либо цепи или ток, протекающий в ветви). Многомерные сигналы образуются некоторым упорядоченным множеством одномерных сигналов (система напряжений на зажимах многополюсника):

V(t) = {v₁(t), v₂(t), ..., v_N(t)},

где N называется размерностью сигнала.

Другой принцип классификации сигналов основан на возможности или невозможности точного предсказания их мгновенных значений в любые моменты времени (критерий определенности или детерминированности). Если математическая модель позволяет сделать такое предсказание с вероятностью единица, т.е. априори известно поведение сигнала в любой момент времени, то сигнал называется детерминированным. Способы задания такого сигнала могут быть различными - математическая формула, вычислительный алгоритм и т.д. Примерами детерминированных сигналов могут служить импульсы или пачки импульсов, форма, величина и положение во времени которых известны, а также непрерывный сигнал с заданными амплитудными и фазовыми соотношениями внутри его спектра. Детерминированные сигналы можно подразделить на периодические и непериодические. Периодическим называется любой сигнал, для которого выполняется условие s(t) = s(t + nT), где период Т является конечным отрезком, а n – любое целое число.

Простейшим периодическим детерминированным сигналом является гармоническое колебание (ток, напряжение, заряд, напряженность поля), определяемое законом

s(t) = A cos (2t/T + ) = A cos (wt + ), - < t < ,

где А, Т, w и  - постоянные амплитуда, период, угловая частота и начальная фаза колебания. Строго гармоническое колебание называют монохроматическим. Любой сложный периодический сигнал, как известно, можно представить в виде суммы гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте w = 2/T. Основной характеристикой сложного периодического сигнала является его спектральная функция, содержащая информацию об амплитудах и фазах отдельных гармоник. Непериодическим детерминированным сигналом называется любой детерминированный сигнал, для которого не выполняется условие s(t) = s(t + nT).

Строго говоря, детерминированных сигналов в природе не существует. Неизбежное взаимодействие источника сообщений с окружающими физическими объектами, наличие хаотических влияний заставляет рассматривать реальные сигналы как случайные функции времени, т.е. как случайные сигналы - сигналы, значения которых заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Для характеристики и анализа случайных сигналов применяется статистический подход. В качестве основных характеристик случайных сигналов принимают закон распределения вероятностей и спектральное распределение мощности сигнала. Между детерминированными и случайными сигналами нет четкой границы, однако в условиях, когда уровень помех значительно меньше уровня полезного сигнала с известной формой, более простая детерминированная модель оказывается вполне адекватной поставленной задаче. Изучению и анализу свойств случайных сигналов посвящен большой раздел радиофизики - статистическая радиотехника, основанная на математическом аппарате теории вероятностей и теории случайных процессов.

Очень важный для радиотехники класс сигналов представляют собой импульсные сигналы, т.е. колебания, существующие лишь в пределах конечного отрезка времени. При этом различают видеоимпульсы (рис.1.1, а) и радиоимпульсы (рис.1.1, б).

а) б) в)

Рис. 1.1 – Импульсные сигналы и их характеристики:

а) видеоимпульс; б) радиоимпульс; в) определение числовых параметров импульса

Различие между этими двумя основными видами импульсов состоит в следующем. Если и_в(t) – функция видеоимпульса, то соответствующий ему радиоимпульс опишется выражением:

u_p(t) = u_в(t) cos(w₀ t + ₀),

где частота w₀ и начальная фаза ₀ произвольны. При этом и_в(t) называется огибающей радиоимпульса, а функция cos(w₀ t + ₀) - его заполнением. В технических расчетах, как правило, используют следующие основные параметры импульсных сигналов: А - амплитуду - максимальную высоту (для трапециевидных импульсов) и временные параметры: t_u - длительность импульса, активная длительность (измеряется на уровне 0,5А), t_ф - длительность фронта (время нарастания импульса от 0,1А до 0,9А), t_c - длительность среза (время спада импульса от 0,9А до 0,1А).

И, наконец, последний и основной критерий классификации сигналов - по их виду (или структуре). Применяемые в современной электронике сигналы можно разделить на следующие классы:

• сигналы, произвольные по величине и непрерывные по времени (рис.1.2, а);

• сигналы, произвольные по величине и дискретные по времени (рис.1.2, б);

• сигналы, квантованные по величине и непрерывные по времени (рис.1.2, в);

• сигналы, квантованные по величине и дискретные по времени (рис.1.2, г).

Сигналы первого класса иногда называют аналоговыми (так как их можно трактовать как электрические модели физических величин) или непрерывными - континуальными (так как они задаются по оси времени на несчетном множестве точек). При этом по оси ординат они могут принимать любое значение в определенном интервале.

Второй класс сигналов - дискретные. Они задаются при дискретных значениях времени (на счетном множестве точек) (отсюда и название); величина же сигнала в этих точках может принимать любое значение в определенном интервале по оси ординат. Простейшая математическая модель дискретного сигнала s_д(t) - это счетное множество точек {t_i}, i = 1, 2, 3, ... , на оси времени, в каждой из которых определено отсчетное значение сигнала s_i. Как правило, шаг дискретизации  = t_i+1 - t_i для каждого сигнала постоянен, и для быстро изменяющихся во времени сигналов мал.

В принципе, любому медленно изменяющемуся во времени аналоговому сигналу можно поставить в соответствие его дискретный образ, имеющий вид последовательности прямоугольных видеоимпульсов одинаковой длительности и высоты, соответствующей значению импульса в отсчетных точках; либо одинаковой высоты и различной длительности в соответствии с текущими отсчетными значениями.

а) б) в) г)

Рис. 1.2 – Разновидности сигналов:

а) - аналоговые; б) - дискретные; в) - квантованные; г) цифровые

Третий класс - сигналы, квантованные по уровню. Они задаются на всей временной оси, однако величина сигнала может принимать лишь дискретные значения.

Таким образом, термин дискретный будет применяться только по отношению к дискретизации по времени; дискретизация по уровню будет обозначаться термином квантование.

Четвертый класс сигналов - цифровые, т.е. дискретные по времени и квантованные по уровню, при этом уровни можно пронумеровать числами с конечными числом разрядов, что используется при представлении сигналов в цифровой форме с помощью цифрового кодирования (как правило, в двоичной системе счисления).