2. Парная нелинейная регрессия
Задача
Имеются следующие данные о прибыли предприятия (Y, млн. руб.) и расходах на рекламу (X, млн. руб.):
Таблица 1
|
A |
B |
C |
1 |
№ |
X, млн. руб. |
Y, млн. руб. |
2 |
1 |
0,5 |
5 |
3 |
2 |
0,6 |
5,5 |
4 |
3 |
0,7 |
6 |
5 |
4 |
0,75 |
6,5 |
6 |
5 |
0,8 |
7 |
7 |
6 |
1 |
7,4 |
8 |
7 |
1,2 |
7,9 |
9 |
8 |
1,5 |
8 |
10 |
9 |
1,9 |
11 |
11 |
10 |
2 |
15 |
12 |
11 |
2,5 |
16 |
13 |
12 |
3 |
20 |
14 |
13 |
3,5 |
19 |
15 |
14 |
3,8 |
18,5 |
16 |
15 |
3,9 |
17,9 |
17 |
16 |
4,5 |
16,9 |
18 |
17 |
5 |
15,5 |
19 |
18 |
5,5 |
14 |
20 |
19 |
5,9 |
13 |
21 |
20 |
6,5 |
11 |
Необходимо:
получить уравнение парной нелинейной квадратичной регрессии y=a+bx+cx²+ε;
оценить тесноту нелинейной связи переменных с помощью индекса корреляции
;оценить качество подгонки квадратичного уравнения коэффициентом детерминации R2;
оценить качество модели с помощью средней относительной ошибки аппроксимации
;аналогичные расчеты выполнить для:
линейной модели y=a+bx+ε;
гиперболической модели y=a+b/x+ε;
степенной модели y=a·xb·ε;
показательной модели y=a·bx·ε;
результаты совместить на одном графике, сделать вывод какая из этих моделей предпочтительнее.
Решение:
1. y=-0,291+9,365x-1,197x2
2. =0,965, что свидетельствует о наличии очень тесной нелинейной квадратичной связи между X и Y.
3. R2=0,931, что близко к 1 и свидетельствует о достаточно высоком качестве подгонки полученного квадратичного уравнения регрессии.
4. Вычисленная средняя относительная
ошибка
=9,8%
находится в пределах приемлемой точности
,
следовательно, квадратичная модель
достаточно точна.
Таблица 2
Результаты решения “Парная нелинейная квадратичная регрессия”
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
1 |
№ |
x |
y |
x^2 |
x^3 |
x^4 |
x*y |
x^2*y |
y^2 |
y* |
(y-y*)^2 |
(y-yср)^2 |
abs(A) |
2 |
1 |
0,5 |
5 |
0,25 |
0,13 |
0,06 |
2,50 |
1,25 |
25,00 |
4,09 |
0,82 |
49,77 |
18,16% |
3 |
2 |
0,6 |
5,5 |
0,36 |
0,22 |
0,13 |
3,30 |
1,98 |
30,25 |
4,90 |
0,36 |
42,97 |
10,97% |
4 |
3 |
0,7 |
6 |
0,49 |
0,34 |
0,24 |
4,20 |
2,94 |
36,00 |
5,68 |
0,10 |
36,66 |
5,37% |
5 |
4 |
0,75 |
6,5 |
0,56 |
0,42 |
0,32 |
4,88 |
3,66 |
42,25 |
6,06 |
0,19 |
30,86 |
6,78% |
6 |
5 |
0,8 |
7 |
0,64 |
0,51 |
0,41 |
5,60 |
4,48 |
49,00 |
6,43 |
0,32 |
25,55 |
8,08% |
7 |
6 |
1 |
7,4 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
7,40 |
7,40 |
54,76 |
7,88 |
0,23 |
21,67 |
6,44% |
8 |
7 |
1,2 |
7,9 |
1,44 |
1,73 |
2,07 |
9,48 |
11,38 |
62,41 |
9,22 |
1,75 |
17,26 |
16,74% |
9 |
8 |
1,5 |
8 |
2,25 |
3,38 |
5,06 |
12,00 |
18,00 |
64,00 |
11,06 |
9,37 |
16,44 |
38,27% |
10 |
9 |
1,9 |
11 |
3,61 |
6,86 |
13,03 |
20,90 |
39,71 |
121,00 |
13,18 |
4,75 |
1,11 |
19,81% |
11 |
10 |
2 |
15 |
4,00 |
8,00 |
16,00 |
30,00 |
60,00 |
225,00 |
13,65 |
1,83 |
8,67 |
9,01% |
12 |
11 |
2,5 |
16 |
6,25 |
15,63 |
39,06 |
40,00 |
100,00 |
256,00 |
15,64 |
0,13 |
15,56 |
2,27% |
13 |
12 |
3 |
20 |
9,00 |
27,00 |
81,00 |
60,00 |
180,00 |
400,00 |
17,03 |
8,85 |
63,12 |
14,87% |
14 |
13 |
3,5 |
19 |
12,25 |
42,88 |
150,06 |
66,50 |
232,75 |
361,00 |
17,82 |
1,40 |
48,23 |
6,23% |
15 |
14 |
3,8 |
18,5 |
14,44 |
54,87 |
208,51 |
70,30 |
267,14 |
342,25 |
18,00 |
0,25 |
41,54 |
2,68% |
16 |
15 |
3,9 |
17,9 |
15,21 |
59,32 |
231,34 |
69,81 |
272,26 |
320,41 |
18,02 |
0,01 |
34,16 |
0,66% |
17 |
16 |
4,5 |
16,9 |
20,25 |
91,13 |
410,06 |
76,05 |
342,23 |
285,61 |
17,60 |
0,49 |
23,47 |
4,15% |
18 |
17 |
5 |
15,5 |
25,00 |
125,00 |
625,00 |
77,50 |
387,50 |
240,25 |
16,60 |
1,20 |
11,87 |
7,07% |
19 |
18 |
5,5 |
14 |
30,25 |
166,38 |
915,06 |
77,00 |
423,50 |
196,00 |
14,99 |
0,98 |
3,78 |
7,08% |
20 |
19 |
5,9 |
13 |
34,81 |
205,38 |
1211,74 |
76,70 |
452,53 |
169,00 |
13,28 |
0,08 |
0,89 |
2,13% |
21 |
20 |
6,5 |
11 |
42,25 |
274,63 |
1785,06 |
71,50 |
464,75 |
121,00 |
9,99 |
1,03 |
1,11 |
9,21% |
22 |
Сумма |
55,05 |
241,10 |
224,31 |
1084,77 |
5695,23 |
785,62 |
3273,45 |
3401,19 |
241,10 |
34,15 |
494,73 |
|
23 |
Среднее |
2,75 |
12,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9,80% |
24 |
n |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=-0,291+9,365x-1,197x^2 |
|||
26 |
|
20 |
55,05 |
224,31 |
|
20 |
241,10 |
224,31 |
|
D |
260035,443 |
|
|
27 |
A |
55,05 |
224,31 |
1084,77 |
A2 |
55,05 |
785,62 |
1084,77 |
|
D1 |
-75637,866 |
a |
-0,291 |
28 |
|
224,31 |
1084,77 |
5695,23 |
|
224,31 |
3273,45 |
5695,23 |
|
D2 |
2435140,245 |
b |
9,365 |
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D3 |
-311383,306 |
c |
-1,197 |
30 |
|
241,10 |
55,05 |
224,31 |
|
20 |
55,05 |
241,10 |
|
ro |
0,965 |
|
|
31 |
A1 |
785,62 |
224,31 |
1084,77 |
A3 |
55,05 |
224,31 |
785,62 |
|
R^2 |
0,931 |
|
|
32 |
|
3273,45 |
1084,77 |
5695,23 |
|
224,31 |
1084,77 |
3273,45 |
|
Aср |
9,80% |
|
|
5.
Таблица 3
Результаты решения “Парная линейная регрессия”
|
A |
B |
C |
D |
E |
1 |
№ |
x |
y |
y* |
abs(A) |
2 |
1 |
0,50 |
5,00 |
8,28 |
65,60% |
3 |
2 |
0,60 |
5,50 |
8,45 |
53,59% |
4 |
3 |
0,70 |
6,00 |
8,62 |
43,59% |
5 |
4 |
0,75 |
6,50 |
8,70 |
33,83% |
6 |
5 |
0,80 |
7,00 |
8,78 |
25,47% |
7 |
6 |
1,00 |
7,40 |
9,12 |
23,22% |
8 |
7 |
1,20 |
7,90 |
9,45 |
19,66% |
9 |
8 |
1,50 |
8,00 |
9,96 |
24,45% |
10 |
9 |
1,90 |
11,00 |
10,63 |
3,40% |
11 |
10 |
2,00 |
15,00 |
10,79 |
28,04% |
12 |
11 |
2,50 |
16,00 |
11,63 |
27,30% |
13 |
12 |
3,00 |
20,00 |
12,47 |
37,65% |
14 |
13 |
3,50 |
19,00 |
13,31 |
29,96% |
15 |
14 |
3,80 |
18,50 |
13,81 |
25,35% |
16 |
15 |
3,90 |
17,90 |
13,98 |
21,91% |
17 |
16 |
4,50 |
16,90 |
14,98 |
11,34% |
18 |
17 |
5,00 |
15,50 |
15,82 |
2,08% |
19 |
18 |
5,50 |
14,00 |
16,66 |
19,00% |
20 |
19 |
5,90 |
13,00 |
17,33 |
33,31% |
21 |
20 |
6,50 |
11,00 |
18,34 |
66,69% |
22 |
Сумма |
55,05 |
241,10 |
241,10 |
|
23 |
Среднее |
2,75 |
12,06 |
Aср |
29,77% |
24 |
n |
20 |
|
b |
a |
25 |
r |
0,643 |
|
1,676 |
7,442 |
26 |
R^2 |
0,413 |
|
y=7,442+1,676x |
|
Таблица 4
Результаты решения “Парная нелинейная гиперболическая регрессия”
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
1 |
№ |
x |
y |
z=1/x |
y* |
(y-y*)^2 |
(y-yср)^2 |
abs(A) |
2 |
1 |
0,50 |
5,00 |
2,00 |
2,24 |
7,61 |
49,77 |
55,17% |
3 |
2 |
0,60 |
5,50 |
1,67 |
4,73 |
0,60 |
42,97 |
14,07% |
4 |
3 |
0,70 |
6,00 |
1,43 |
6,50 |
0,25 |
36,66 |
8,35% |
5 |
4 |
0,75 |
6,50 |
1,33 |
7,21 |
0,51 |
30,86 |
10,94% |
6 |
5 |
0,80 |
7,00 |
1,25 |
7,83 |
0,69 |
25,55 |
11,89% |
7 |
6 |
1,00 |
7,40 |
1,00 |
9,70 |
5,27 |
21,67 |
31,03% |
8 |
7 |
1,20 |
7,90 |
0,83 |
10,94 |
9,23 |
17,26 |
38,46% |
9 |
8 |
1,50 |
8,00 |
0,67 |
12,18 |
17,48 |
16,44 |
52,26% |
10 |
9 |
1,90 |
11,00 |
0,53 |
13,23 |
4,96 |
1,11 |
20,25% |
11 |
10 |
2,00 |
15,00 |
0,50 |
13,42 |
2,49 |
8,67 |
10,51% |
12 |
11 |
2,50 |
16,00 |
0,40 |
14,17 |
3,35 |
15,56 |
11,45% |
13 |
12 |
3,00 |
20,00 |
0,33 |
14,67 |
28,45 |
63,12 |
26,67% |
14 |
13 |
3,50 |
19,00 |
0,29 |
15,02 |
15,84 |
48,23 |
20,94% |
15 |
14 |
3,80 |
18,50 |
0,26 |
15,19 |
10,96 |
41,54 |
17,90% |
16 |
15 |
3,90 |
17,90 |
0,26 |
15,24 |
7,08 |
34,16 |
14,87% |
17 |
16 |
4,50 |
16,90 |
0,22 |
15,49 |
1,98 |
23,47 |
8,32% |
18 |
17 |
5,00 |
15,50 |
0,20 |
15,66 |
0,03 |
11,87 |
1,03% |
19 |
18 |
5,50 |
14,00 |
0,18 |
15,80 |
3,22 |
3,78 |
12,82% |
20 |
19 |
5,90 |
13,00 |
0,17 |
15,89 |
8,34 |
0,89 |
22,21% |
21 |
20 |
6,50 |
11,00 |
0,15 |
16,00 |
25,04 |
1,11 |
45,49% |
22 |
Сумма |
55,05 |
241,10 |
|
241,10 |
153,37 |
494,73 |
|
23 |
Среднее |
2,75 |
12,06 |
|
|
|
Aср |
21,73% |
24 |
n |
20 |
|
y=a+b/x - исходное уравнение |
r |
0,831 |
||
25 |
b |
a |
|
y=a+bz - уравнение с заменой |
R^2 |
0,690 |
||
26 |
-7,455 |
17,151 |
|
y=17,151-7,455/x |
|
|
||
Таблица 5
Результаты решения “Парная нелинейная степенная регрессия”
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
1 |
№ |
x |
y |
X=ln(x) |
Y=ln(y) |
y* |
(y-y*)^2 |
(y-yср)^2 |
abs(A) |
2 |
1 |
0,50 |
5,00 |
-0,69 |
1,61 |
5,63 |
0,40 |
49,77 |
12,58% |
3 |
2 |
0,60 |
5,50 |
-0,51 |
1,70 |
6,14 |
0,40 |
42,97 |
11,56% |
4 |
3 |
0,70 |
6,00 |
-0,36 |
1,79 |
6,60 |
0,36 |
36,66 |
9,99% |
5 |
4 |
0,75 |
6,50 |
-0,29 |
1,87 |
6,82 |
0,10 |
30,86 |
4,90% |
6 |
5 |
0,80 |
7,00 |
-0,22 |
1,95 |
7,03 |
0,00 |
25,55 |
0,42% |
7 |
6 |
1,00 |
7,40 |
0,00 |
2,00 |
7,81 |
0,17 |
21,67 |
5,56% |
8 |
7 |
1,20 |
7,90 |
0,18 |
2,07 |
8,51 |
0,38 |
17,26 |
7,78% |
9 |
8 |
1,50 |
8,00 |
0,41 |
2,08 |
9,46 |
2,14 |
16,44 |
18,28% |
10 |
9 |
1,90 |
11,00 |
0,64 |
2,40 |
10,58 |
0,18 |
1,11 |
3,81% |
11 |
10 |
2,00 |
15,00 |
0,69 |
2,71 |
10,84 |
17,30 |
8,67 |
27,73% |
12 |
11 |
2,50 |
16,00 |
0,92 |
2,77 |
12,05 |
15,63 |
15,56 |
24,71% |
13 |
12 |
3,00 |
20,00 |
1,10 |
3,00 |
13,13 |
47,19 |
63,12 |
34,35% |
14 |
13 |
3,50 |
19,00 |
1,25 |
2,94 |
14,12 |
23,78 |
48,23 |
25,67% |
15 |
14 |
3,80 |
18,50 |
1,34 |
2,92 |
14,68 |
14,57 |
41,54 |
20,63% |
16 |
15 |
3,90 |
17,90 |
1,36 |
2,88 |
14,86 |
9,21 |
34,16 |
16,96% |
17 |
16 |
4,50 |
16,90 |
1,50 |
2,83 |
15,90 |
0,99 |
23,47 |
5,89% |
18 |
17 |
5,00 |
15,50 |
1,61 |
2,74 |
16,72 |
1,48 |
11,87 |
7,85% |
19 |
18 |
5,50 |
14,00 |
1,70 |
2,64 |
17,49 |
12,16 |
3,78 |
24,91% |
20 |
19 |
5,90 |
13,00 |
1,77 |
2,56 |
18,08 |
25,78 |
0,89 |
39,06% |
21 |
20 |
6,50 |
11,00 |
1,87 |
2,40 |
18,92 |
62,80 |
1,11 |
72,04% |
22 |
Сумма |
55,05 |
241,10 |
|
|
235,38 |
235,02 |
494,73 |
|
23 |
Среднее |
2,75 |
12,06 |
|
|
|
|
Aср |
18,73% |
24 |
n |
20 |
|
|
|
|
|
r |
0,725 |
25 |
b |
A |
a |
y=7,812•x^0,473•ε |
|
|
R^2 |
0,525 |
|
26 |
0,473 |
2,056 |
7,812 |
|
|
|
|
|
|
Таблица 6
Результаты решения “Парная нелинейная показательная регрессия”
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
1 |
№ |
x |
y |
Y=ln(y) |
y* |
(y-y*)^2 |
(y-yср)^2 |
abs(A) |
2 |
1 |
0,50 |
5,00 |
1,61 |
7,53 |
6,40 |
49,77 |
50,58% |
3 |
2 |
0,60 |
5,50 |
1,70 |
7,66 |
4,65 |
42,97 |
39,19% |
4 |
3 |
0,70 |
6,00 |
1,79 |
7,78 |
3,18 |
36,66 |
29,73% |
5 |
4 |
0,75 |
6,50 |
1,87 |
7,85 |
1,82 |
30,86 |
20,75% |
6 |
5 |
0,80 |
7,00 |
1,95 |
7,91 |
0,84 |
25,55 |
13,06% |
7 |
6 |
1,00 |
7,40 |
2,00 |
8,18 |
0,61 |
21,67 |
10,56% |
8 |
7 |
1,20 |
7,90 |
2,07 |
8,46 |
0,31 |
17,26 |
7,06% |
9 |
8 |
1,50 |
8,00 |
2,08 |
8,89 |
0,79 |
16,44 |
11,13% |
10 |
9 |
1,90 |
11,00 |
2,40 |
9,50 |
2,25 |
1,11 |
13,62% |
11 |
10 |
2,00 |
15,00 |
2,71 |
9,66 |
28,51 |
8,67 |
35,59% |
12 |
11 |
2,50 |
16,00 |
2,77 |
10,50 |
30,27 |
15,56 |
34,39% |
13 |
12 |
3,00 |
20,00 |
3,00 |
11,41 |
73,83 |
63,12 |
42,96% |
14 |
13 |
3,50 |
19,00 |
2,94 |
12,40 |
43,61 |
48,23 |
34,76% |
15 |
14 |
3,80 |
18,50 |
2,92 |
13,03 |
29,92 |
41,54 |
29,57% |
16 |
15 |
3,90 |
17,90 |
2,88 |
13,25 |
21,64 |
34,16 |
25,99% |
17 |
16 |
4,50 |
16,90 |
2,83 |
14,64 |
5,12 |
23,47 |
13,39% |
18 |
17 |
5,00 |
15,50 |
2,74 |
15,91 |
0,16 |
11,87 |
2,62% |
19 |
18 |
5,50 |
14,00 |
2,64 |
17,28 |
10,78 |
3,78 |
23,45% |
20 |
19 |
5,90 |
13,00 |
2,56 |
18,47 |
29,94 |
0,89 |
42,09% |
21 |
20 |
6,50 |
11,00 |
2,40 |
20,41 |
88,52 |
1,11 |
85,53% |
22 |
Сумма |
55,05 |
241,10 |
|
230,71 |
383,16 |
494,73 |
|
23 |
Среднее |
2,75 |
12,06 |
|
|
|
Aср |
28,30% |
24 |
n |
20 |
|
|
|
|
r |
0,475 |
25 |
B |
A |
a |
b |
y=a·bx·ε |
R^2 |
0,226 |
|
26 |
0,166 |
1,936 |
6,929 |
1,181 |
y=6,929·1,181^x·ε |
|
|
|
6. Результаты в пунктах 1-5 совместим на одном графике (см. рис. 1) и сделаем вывод, какая из этих моделей предпочтительнее.
Таблица 7