12

Методы численного анализа (гэк 2012)

1 Интерполирование функций

Постановка задачи интерполирования

Рассмотрим на отрезке некоторую m – кратно дифференцируемую функцию . Пусть в точках известны ее значения , в точках известны значения первой производной и в точках известны значения m –ой производной . Значения функции и ее производных называются данными интерполирования, а точки – узлами интерполирования.

Задача интерполирования заключается в отыскании функции из некоторого класса такой, что выполняется условие

. (1.1)

Пусть . Рассмотрим на отрезке последовательность линейно независимых m – кратно дифференцируемых функций: . В качестве семейства возьмем всевозможные линейные комбинации первых функций с произвольными коэффициентами

.

Из условия (1.1) получим систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов

. (1.2)

Система (1.2) будет иметь единственное решение в том случае, если ее определитель отличен от нуля.

Примеры интерполяционных функций

Приведем примеры интерполяционных функций.

1. Рассмотрим следующую систему линейно независимых функций: . Тогда семейством является совокупность алгебраических многочленов вида

. (1.3)

Геометрически это означает, что нужно найти алгебраическую кривую , проходящую через систему точек (Рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 – Интерполяционный многочлен

Система уравнений, из которой определяются коэффициенты из (1.3), будет

. (1.4)

Ее определитель является определителем Вандермонда, и он отличен от нуля для различных между собой значениях .

Интерполирование полиномами вида (1.3) называется алгебраическим.

2. Для интерполирования периодических функций с периодом применяется система тригонометрических функций: . Линейная комбинация первых функций является тригонометрическим многочленом степени

. (1.5)

Интерполирование с помощью полиномов (1.5) называется тригонометрическим.

Пусть для функции построена интерполирующая функция . Тогда, если определяется значение в точке , лежащей внутри отрезка интерполирования, то такое восстановление функции называется интерполяцией. Если же точка лежит вне отрезка , то такое восстановление функции называется экстраполяцией.

Конечные разности и их свойства

Конечные разности в вычислительной математике имеют значение, аналогичное дифференциалам в анализе бесконечно малых величин.

Пусть даны равноотстоящие друг от друга узлы и известны соответствующие значения функции . Здесь – некоторое фиксированное значение аргумента.

Конечными разностями нулевого порядка называются величины равные значениям функции в узлах . Конечными разностями первого порядка называются величины

(1.6)

Конечные разности второго порядка определяются равенствами по отношению к разностям первого порядка

Разности n-го порядка определяются по формуле

. (1.7)

Конечные разности любого порядка легко выражаются через значения функции

(1.8)

Доказательство проведем по индукции. Пусть эта формула верна для . Покажем, что она будет верна и при .

.

Аналогично доказывается формула

(1.9)

Из определения конечных разностей вытекают следующие свойства

1. если , то ;

2. если , , то ;

3. конечные разности n –го порядка от многочлена степени n постоянны , а ;

4. .

Таблицу конечных разностей обычно располагают следующим образом:

Таблица 1.1 – Конечные разности

x
x0	f0
x1	f1
x2	f2
x3	f3
x4	f4
x5	f5
x6	f6

Теорема о существовании интерполяционного многочлена

Пусть на отрезке в узле заданы значения ограниченной функции : . Поставим задачу нахождения полинома степени не выше такого, чтобы выполнялось условие

. (1.10)

Теорема 1. Существует и притом единственный многочлен степени не выше , для которого выполняется условие (1.10).

Доказательство. Пусть многочлен имеет вид (1.3). Используя (1.10), для определения коэффициентов , получим систему (1.4) линейных алгебраических уравнений, которую запишем в виде

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1.11)

Определитель системы (1.11) является определителем Вандермонда и имеет вид

.

Следовательно, для системы различных между собой узлов система (1.11) имеет единственное решение. Теорема доказана.