5. Вычислим коэффициент детерминации, проверим значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделаем вывод о качестве модели.

Определим линейный коэффициент парной корреляции по формуле

Рассчитаем коэффициент детерминации:

0,968

Он показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, т.е. определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов.

Чем ближе R² к 1, тем лучше качество модели.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 96,8 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталов­ложений).

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помо­щью F-критерия Фишера:

244,869

F>F_табл.=5.32 для α=0,05; k₁=m=1; k₂=n-m-1=8

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статис­тически значимое, т. к. F > Fтабл.

Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:

3,863%

В среднем расчетные значения у для линейной модели от­личаются от фактических значений на 3,863%

Так как ошибка аппроксимации данной модели меньше 7%, то это свидетельствует о хорошем качестве модели.

6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение показателя, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения 0,8*54,00=43,20, составит:

y _прогн =13,89+2,40*43,20=117,64.

Интервальный прогноз:

для степеней свободы и уровня значимости 0,1 равно 1,8595.

Тогда

7. Представим графически фактические и модельные значения y точки прогноза.

Найденное в предыдущем пункте задачи прогнозное значение

= 117,64 будет находиться между верхней границей, равной 117,64+9,974 = 127,6, и нижней границей, равной 117,64-9,974 = 107,7. График исходных данных и результаты моделирования приведены на рис. 2.

Рис.2. Сравнение фактических и модельных значенийY точки прогноза

8. Составить уравнения нелинейной регрессии и построить их графики:

 гиперболической;

 степенной;

 показательной.

Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции: у = а + b/х. Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1/х. В результате получим линейное уравнение у = а + b*x. Рассчитаем его параметры:

-3293,9;

198,7616.

Расчеты приведены в таблице 4: Таблица 4.

№ п/п	x	y	Х	уХ	Х2	у-уср	(у-уср)2	ŷ=a+b*Xi	ei = yi - ŷ
1	36	104	0,0278	2,8889	0,0008	-7,4	54,76	107,26	-3,2645
2	28	77	0,0357	2,7500	0,0013	-34,4	1183,36	81,12	-4,1224
3	43	117	0,0233	2,7209	0,0005	5,6	31,36	122,16	-5,1593
4	52	137	0,0192	2,6346	0,0004	25,6	655,36	135,42	1,5826
5	51	143	0,0196	2,8039	0,0004	31,6	998,56	134,18	8,8246
6	54	144	0,0185	2,6667	0,0003	32,6	1062,76	137,76	6,2365
7	25	82	0,0400	3,2800	0,0016	-29,4	864,36	67,01	14,9943
8	37	101	0,0270	2,7297	0,0007	-10,4	108,16	109,74	-8,7374
9	51	132	0,0196	2,5882	0,0004	20,6	424,36	134,18	-2,1754
10	29	77	0,0345	2,6552	0,0012	-34,4	1183,36	85,18	-8,1790
Сумма	406	1114	0,2652	27,7182	0,0076		6566,4	1114	0,0000
Среднее	40,6	111,4	0,0265	2,7718	0,0008

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

y = 198,7616-3293,9/x.

График функции будет иметь следующий вид:

Рис. 3. График гиперболической функции

Построение степенной функции.

Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a+x^b.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lg ŷ = lg a +b lg x. Результаты расчетов приведены в таблице.

Таблица 5.

Расчет значений для нахождения параметров уравнения степенной регрессии.

№	Фактическое Y(t)	lg (Y)	Переменная X(t)	lg(X)
1	104	2,017	36	1,556
2	77	1,886	28	1,447
3	117	2,068	43	1,633
4	137	2,137	52	1,716
5	143	2,155	51	1,708
6	144	2,158	54	1,732
7	82	1,914	25	1,398
8	101	2,004	37	1,568
9	132	2,121	51	1,708
10	77	1,886	29	1,462
Итого	1114,00	20,347	406,00	15,929
Средн. знач	111,40	2,035	40,60	1,593

Обозначим Y= lg ŷ, X= lg x, А= lg а. Тогда уравнение примет вид

Y= A+ bX – линейное уравнение регрессии.

На основе произведенных вычислений найдем:

0,8577;

0,6685.

Тогда уравнение регрессии примет вид:

Y=0,6685+0,8577X.

Перейдем к исходным переменным ли у, выполнив потен­цирование данного уравнения.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

.

График степенной функции будет иметь следующий вид:

Рис.4. График степенной функции

Построение показательной функции.

Уравнение показательной кривой: у =ab^x . Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмиро­вание обеих частей уравнения:

lg = lg a + х lg b.

Обозначим: Y = lg , В = lg b, A = lg a.

Получим линейное уравнение регрессии:

Y = А + В*х.

Параметры уравнения находятся по формулам:

0,010;

1,640.

Результаты расчетов для определения параметров уравнения приведены в таблице:

t	y	Y	x	Yx	x2
1	104	2,0170	36	72,61	1296,00	97,7322
2	77	1,8865	28	52,82	784,00	81,7160
3	117	2,0682	43	88,93	1849,00	114,3016
4	137	2,1367	52	111,11	2704,00	139,7974
5	143	2,1553	51	109,92	2601,00	136,7045
6	144	2,1584	54	116,55	2916,00	146,1948
7	82	1,9138	25	47,85	625,00	76,4114
8	101	2,0043	37	74,16	1369,00	99,9434
9	132	2,1206	51	108,15	2601,00	136,7045
10	77	1,8865	29	54,71	841,00	83,5648
Итого	1114,00	20,3473	406,00	836,81285	17586,00000	1113,0705
Среднее значение	111,4000	2,0347	40,6000	83,6813	1758,6000

Уравнение будет иметь вид:

Y=1,640 + 0,010*X.

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:

График показательной регрессии будет иметь следующий вид:

Рис.5. График показательной функции