Вопрос 44.1. Линейное пространство над полем базис и размерность линейного пространства. Решение систем линейных уравнений.

Опр. Линейным пространством над полем P называется. множество L:

1. L- аддитивная абелева группа

2. Для любого l L и любого a P выполняется lа L , аl L

Опр. Пусть дано конечное число элементов линейного пространства: x₁…x_n . Пусть далее а₁…a_n - произвольные числа. Всякий элемент х пространства L, представимый в виде х=x₁a₁+…+x_na_n называется линейной комбинацией элементов x₁…x_n.

Опр. Линейная комбинация называется тривиальной, если a₁…a_n=0, и называется нетривиальной, если среди чисел a₁…a_n хотя 6ы одно отлично от нуля.

Опр. Система векторов x₁…x_n называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация векторов x₁…x_n , равная нулевому вектору; иначе говоря, если справедливо равенство x₁a₁+…+x_na_n=, где среди чисел a₁…a_n хотя 6ы одно отлично от нуля.

Опр. Система векторов x₁…x_n называется линейно независимой, если равенство x₁a₁+…+x_na_n=, возможно только тогда, когда , a₁=…=a_n=0 .

Опр. Линейное пространство называется n-мерным , если в нем имеется линейно независимая система, состоящая из n векторов, а всякая система, состоящая из большего числа векторов, является линейно зависимой. Число n называется размерностью линейного пространства.

Опр. Система векторов e₁…e_n в пространстве L является базисом, если:

1) векторы e₁…e_n линейно независимы

2) любой вектор x из пространства L линейно выражается через e₁…e_n, то есть x=x₁e₁+…+x_ne_n (1). Равенство вида (1) называется. разложением вектора x по базису e₁…e_n, числовые коэффициенты x₁…x_n называется координатами вектора x в базисе e₁…e_n.

Теорема. Линейное пространство n-мерно тогда и только тогда, когда в нем есть базис, состоящий из n векторов.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Матрица коэффициентов при неизвестных называется основной матрицей системы

               

Если к основной матрице A добавить столбец свободных членов B, получим расширенную матрицу

Дадим основные определения и понятия.  

Решением   системы линейных уравнений называется совокупность чисел  с₁…с_n ,    которая при подстановке в каждое уравнение системы вместо неизвестных   x₁…x_n    обращает эти уравнения в верные числовые равенства.

Совместной  называется система, имеющая хотя бы одно решение.

Несовместной   называется система, не имеющая решений.

Определенной  называется совместная система, имеющая единственное решение.

Неопределенной  называется совместная система, имеющая бесконечное множество решение.

Теорема   Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы

Если ранг матрицы A равен числу неизвестных (R = n), то система имеет  единственное  решение.

Если ранг матрицы A меньше числа неизвестных (R < n), то система имеет бесконечное множество  решений.

Отметим, что обычно при решении конкретных систем линейных уравнений отдельно вопрос о совместности системы не рассматривается, так как ответ на него получается в процессе решения системы.