13. Основы теории искажений. Геометрические представления искажений.

Искажения в бесконечно малой области около какой-либо точки проекции подчиняются некоторым общим законам. Во всякой точке карты в проекции, не являющейся равноугольной,существуют два таких взаимно перпендикулярных направления, которым на отображаемой поверхности соответствуют также взаимно перпендикулярные направления, это — так называемые главные направления отображения. Масштабы по этим направлениям (главные масштабы) имеют экстремальные значения: m_max= а и m_min= b. Если в какой-либо проекции меридианы и параллели на карте пересекаются под прямым углом, то их направления и есть главные для данной проекции. Искажение длины в данной точке проекции наглядно представляет эллипс искажений, подобный и подобно расположенный изображению бесконечно малой окружности, описанной вокруг соответствующей точки отображаемой поверхности. Полудиаметры этого эллипса численно равны частным масштабам в данной точке в соответствующих направлениях, полуоси эллипса равны экстремальным масштабам, а направления их — главные.

  Связь между элементами эллипса искажений, искажениями К. п. и частными производными функций устанавливается основными формулами теории искажений.

14. Масштаб географической карты. Понятие главного и частного масштаба. Отличие масштаба карты от масштаба плана.

Масштаб Картографические проекцииСтроятся в определённом масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в М раз, например в 10 000 000 раз, получают его геометрическую модель — глобус, изображение которого уже в натуральную величину на плоскости даёт карту поверхности этого эллипсоида. Величина 1: М (в примере 1: 10 000 000) определяет главный, или общий, масштаб карты. Т. к. поверхности эллипсоида и шара не могут быть развёрнуты на плоскость без разрывов и складок (они не принадлежат к классу развёртывающихся поверхностей), любой К. п. присущи искажения длин линий, углов и т.п., свойственные всякой карте. Основной характеристикой К. п. в любой её точке является частный масштаб m. Это — величина, обратная отношению бесконечно малого отрезка ds на земном эллипсоиде к его изображению ds на плоскости:  причем m зависит от положения точки на эллипсоиде и от направления выбранного отрезка. Ясно, что m_min £ m £ m_max, и равенство здесь возможно лишь в отдельных точках или вдоль некоторых линий на карте. Т. о., главный масштаб карты характеризует её только в общих чертах, в некотором осреднённом виде. Отношение m/М называют относительным масштабом, или увеличением длины, разность  искажением длины. При анализе свойств К. п. можно не принимать во внимание главный масштаб; численное значение его учитывается только при вычислениях координат точек К. п. Поэтому часто, например в теории искажений, считают М = 1.

15. Выбор картографических проекций для достижения минимальных искажений

По линии вспомогательной пов-ти и конуса Мгл.=Мчастн.-линия нулевых искожений. При развороте Мчастн. <Мгл. (удаляется от вспомогательной пов-ти). Т.О. вспомогательная пов-ти, секущие пов-ть неск. раз-создают минимизацию искажения карт. На карте возникают искажения длин, углов, S, форм. Искажение длин-это отношение бесконечно малого отрезка на плоскости к длине соответствующего отрезка на эл-де. Искажение уголов-это разность м/у углом образованным двумя линиями из одной точки на пл-ти и этими же линиями на эл-де. Проекции у к-рых искажение углов отсутствует, наз. Равноугольными. Проекции, у к-рых S объёмов сохр. без искажений, наз. Равновеликими. Установлено, что чем > на карте искажение <, тем< искажение S и наоборот. Все проекции, у к-рых искажение S и углов находится в определённом балансе, наз. произвольными. Проекции, у к-рых имеются в равной степ. Искажения углов и S, наз. равнопромежуточными.

16. Цилиндрические проекции. Область применения.В прямых цилиндрических проекциях параллели и меридианы изображаются двумя семействами параллельных прямых линии, перпендикулярных друг к другу. Промежутки между параллелями пропорциональны разностям долгот, промежутки между меридианами определяются принятым характером изображения (равноугольным или др.) или способом проектирования точек земной поверхности на боковую поверхность цилиндра. Цилиндрические проекции применяются как прямые, так и косые и поперечные в зависимости от расположения изображаемой области. В косых и поперечных проекциях меридианы и параллели изображаются различными кривыми, но средний меридиан проекции, на котором располагается полюс косой системы, всегда прямой. В поперечных проекциях, кроме того, прямой линией изображается экватор.

По характеру искажений рассматриваемые цилиндрические проекции располагаются в ряду от равноугольных до равновеликих. Образование цилиндрических проекций можно представить по-разному. Наглядным представляется проектирование земной поверхности на боковую поверхность цилиндра, которая затем развертывается на плоскости. Цилиндр может быть касательным к земному шару или секущим его. В первом случае длины сохраняются по экватору, во втором - по двум стандартным параллелям, симметричным относительно экватора.

Проектирование может выполнятся различными способами.

Наиболее распространенным является аналитический, основывающийся на закономерностях, получаемых из заданного характера изображения. Уравнения проекции могут быть получены и из предписанных значений искажений на нескольких параллелях, а также по методу линейной перспективы.

Цилиндрические проекции могут находить самое разнообразное применение:

от карт мелких масштабов до крупных, от общегеографических до специальных. Приведем некоторые возможные случаи применения цилиндрических проекций. Так, проекция Меркатора, широко применяется в навигации благодаря свойству локсодромичности (локсодромия - линия равных азимутов -изображается в виде прямой линии) и удобству учета искажений длин, так как m=n. Используется она как для карт отдельных водных бассейнов, так и для изображения мирового океана.

Вследствие указанного размещения искажений и свойства равноугольности проекция Гаусса-Крюгера принята в СССР для обработки геодезических измерений и в качестве математической основы для построения номенклатурных карг ни шестиградусным зонам в масштабах от 1:1 000 000 и крупнее. Для обеспечения обзорности изображения всей земной поверхности или значительных ее частей нередко, несмотря на большие искажения, используют прямые цилиндрические проекции

17. Конические проекции. Область применения. По характеру искажений конические проекции могут быть разнообразны, т.е. в классификационном ряду они могут занимать любое место. Однако наибольшее распространение получили равноугольные и равнопромежуточные проекции.

Образование конических проекций для наглядности можно представить как проектирование земной поверхности на боковую поверхность конуса, определенным образом ориентированного относительно земного шара (элипсоида). В прямых конических проекциях оси земного шара и конуса совпадают. При этом конус берется или касательный, или секущий. После проектирования боковая поверхность конуса разрезается по одной из образующих и развертывается в плоскость. При проектировании по методу линейной перспективы получаются перспективные конические проекции, обладающие только промежуточными свойствами по характеру искажений.

Другой метод образования конических проекций - аналитический. В основу его кладутся уравнения проекций, вытекающие из их определения и формул общей теории искажений. В конических проекциях имеются две постоянные проекции "alfa" и "С". Постоянная "alfa" равняется синусу широты стандартной параллели или, что то же самое, синусу угла при вершине конуса. Для проекций с двумя стандартными параллелями формула alfa=sin fi0 остается верна только для равноугольных

проекций, причем в этом случае fi0 - широта параллели с наименьшим масштабом.

Из формулы следует, что постоянная "alfa" может быть только меньше единицы 0<alfa<1. Если же аlfa=1, то коническая проекция превратится и азимутальную. Если аlfa=0, то образующие конуса будут параллельны его оси и коническая проекция превратится в цилиндрическую.

Вторая постоянная "С" в равноугольной и промежуточной проекции имеет определенный геометрический смысл - это радиус экватора и проекции.

В зависимости от размеров изображаемой территории и конических проекциях принимаются одна или две параллели, вдоль которых сохраняются длины без искажений. Одна параллель принимается при небольшом протяжении по широте;две параллели - при большом протяжении, в целях уменьшения уклонений масштабов от единицы. В литературе их называют стандартными, а также касательной или секущими параллелями. Коническая проекция данной группы вполне определяется, если заданы постоянные проекции или "любые величины, взаимно однозначно с ними связанные". Это могут быть широты стандартных или крайних параллелей. В последнем случае, например, может быть дополнено условие, чтобы масштабы на крайних параллелях и на параллели с наименьшим масштабом были равны но абсолютной величине. Может быть поставлено, например, требование, чтобы среднее квадратичное искажение длин было наименьшим или было наименьшим крайне искажение углов

18.Азимутальные проекции. Область применения.В прямых азимутальных проекциях параллели изображаются концентрическими окружностями, меридианы - пучком прямых, исходящих из центра. Углы между меридианами проекции равны соответствующим разностям долгот. Промежутки между параллелями определяются принятым характером изображения (равноугольным и др..) или способом проектирования точек земной

поверхности на картинную плоскость.Нормальная сетка азимутальных проекций ортогональна. Их можно рассматривать как частный случай конических, в которых аlfa=1.Азимутальные проекции применяются как прямые, так косые и поперечные, что определяется широтой центральной точки проекции, выбор которой зависит от расположения территории. Меридианы и параллели в косых и поперечных проекциях изображаются кривыми линиями, за исключением среднего меридиана, на котором находится центральная точка проекции. В поперечных проекциях прямой изображается также экватор: он является второй осью симметрии.

Вид меридианов и параллелей в прямых азимутальных проекциях в случае косых и поперечных проекций имеют альмукантараты (соответствуют параллелям) и вертикалы (соответствуют меридианам).

По характеру искажений азимутальные проекции подразделяются на равноугольные, равновеликие и с промежуточными свойствами. В проекции масштаб длин может сохранятся в точке или вдоль одной из параллелей (вдоль альмукантарата). В первом случае предполагается касательная картинная плоскость, во втором - секущая. В прямых проекциях формулы даются для поверхности эллипсоида или шара (в зависимости от масштаба карт), в косых и поперечных - только для поверхности шара.