2.5.5. Поиск логических закономерностей: элементы исчисления высказываний; понятие закономерности; алгоритм поиска; его сравнение с да.

Направление, о котором пойдет речь, отражает достижения новосибирских ученых. Оно включает в себя очень много разработок, начиная с полуфилософских размышлений о том, что такое закономерность, и кончая огромным количеством алгоритмов, позволяющих искать конкретные закономерности различной степени общности [Витяев Е.Е., Логвиненко А.Д., 1999; Загоруйко, 1979; Лбов, 1981; Рабочая книга ..., 1983. С.197-198]. . Мы полагаем, что эти разработки достойны внимания социологов. Приходится сожалеть, что российские исследователи, активно пользуясь западными пакетами и, следовательно, западной методологией анализа данных, зачастую не знают работ соотечественников. А их достижения при решении многих задач в большей степени отвечают естественной логике социолога и во многом более надежны.

Мы лишь очень коротко коснемся соответствующих проблем. Следуя авторам цитируемых работ, введем понятие логических закономерностей (и тем самым еще раз покажем, что решение широкого круга социологических задач требует использования специфического языка – языка математической логики). При этом рассмотрим лишь один их вид и один из простейших алгоритмов их поиска.

Элементы исчисления высказываний.

Прежде, чем строго определить понятие логической закономерности, необходимо ввести несколько вспомогательных определений. Это даст нам возможность не только описать один из конкретных алгоритмов поиска логических закономерностей, но и более строго говорить о том, о чем шла речь в предыдущих параграфах.

Пусть X₁, X_2, ..., X_m, Y₁, Y_2, ..., Y_n – какие-то изучаемые нами признаки. Назовем элементарными высказываниями (суждениями) выражения вида: (X₂ = 5); (3  X_n  5) (такого рода высказывания здесь нас не интересует, поскольку они касаются порядковых шкал, а мы рассматриваем только номинальные признаки, но порядковые шкалы, вообще говоря, конечно, отнюдь не безынтересны для социолога; поэтому мы не будем сокращать изложение цитируемых авторов за счет ликвидации всего, что с ними связано); (Y₄ = 34,2) и т.д.

Будем продолжать считать, что читателю знакомы логические связки     (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация) и отвечающие им таблицы истинности, и введем определение логической формулы, являющееся ключевым для математической логики и принадлежащее тому ее разделу, который носит название “исчисление высказываний”. Определение рекурсивно:

1) все элементарные суждения суть формулы;

2) если F₁ и F₂ – формулы, то и (F₁), (F₁  F₂)_, (F₁  F₂), (F₁  F₂) – формулы;

3) других формул, кроме тех, что получаются в соответствии с предыдущими пунктами, не существует.

Ниже формулы будем называть также суждениями или высказываниями.

Теперь приведем рекурсивное определение длины формулы:

1) Все элементарные суждения и их отрицания имеют длину, равную единице;

2) Если формула F₁ имеет длину m, а формула F₂ – длину n, то формулы (F₁F₂)_, (F₁  F₂), (F₁  F₂) имеют длину (m + n).

Описание языка математической логики (в рамках т.н. узкого исчисления предикатов) будет продолжено в п. 2.5.6).