1.Границя функції в точці.

Число називається границею функції при (або в точці ), якщо для довільної послідовності , збіжної до , відповідна послідовність значень функції збіжна до . Якщо число – границя функції в точці , то пишуть або при .

2.Похідна функції, ії геометричний і фізичний зміст.

Похідною функції f(x) у точці х₀ називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х₀ до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x₀).

Фізичний зміст: похідна функції в заданій точці – швидкість зміни функції в заданій точці.

Геометричний зміст: похідна функції в заданій точці є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції в цій точці, тобто дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці.

3.Похідні елементарних функцій.

1.    

y = c, то y΄ = 0

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

4.Похідні тригонометричних функцій.

7.    

8.    

9.    

10.

11.

12.

13.

14.

5.Правила диференціювання. Похідна суми та різниці.

Похідна алгебраїчної суми скінченого числа диференційованих функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій

6.Похідна добутку та частки.

Похідна добутку двох диференційованих функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

 Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовані функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різниця добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат знаменника початкового дробу.

7.Похідні вищих порядків.

Можна визначити похідні вищих порядків. Похідною n-го порядку (n-ною похідною) називається похідна від похідної (п – 1) порядку.

8.Похідна складеної функції.

9.Таблиця похідних.

1.    

y = c, то y΄ = 0

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

7.    

8.    

9.    

10.

11.

12.

13.

14. ..

10.Ознаки сталості.

Відомо, що постійна функція має в кожній точці відрізка похідну, рівну нулю. У повних курсах аналізу доводиться зворотне, що функція f (x) постійна на відрізку [а, b], якщо в кожній точці відрізка її похідна f '(х) дорівнює нулю. 11.Ознаки зростання й спадання функції.

Функція назив. зростаючою в точці Х₀,якщо існує (х₀- ς; х₀+ς), знаходиться в проміжку від (а;b) і такий , що f(x)<f(x₀) і таких, що для всіх Х з інтервалом (х₀- ς), f(x)>f(x₀) для всіх Х з інтервалом (х₀; х₀+ς)

Функція зростає на інтервалах f `(x)>=0 і спадає f `(x)<=0 12.Екстремуми функції.

Загальна назва для точок максимуму і мінімуму — точки екстремуму, а для значень функції в цих точках — екстремуми функції. екстремуми функції слід шукати серед критичних точок.

Точку x0 називають точкою мінімуму функції , а саме число — мінімумом функції, якщо існує інтервал , , на якому функція визначена і для всіх із цього інтервалу. Точку називають точкою максимуму функції , а саме число — максимумом функції, якщо існує інтервал , , на якому функція визначена і для всіх із цього інтервалу.