3. Построение структурной схемы и определение передаточных функций сар.

Уравнения звеньев САР сводятся в систему уравнений:

- объект регулирования;

- чувствительный элемент;

- исполнительный клапан.

Система уравнений содержит 5 переменных. Система дифференциальных уравнений записывается в операторной форме и преобразуется к форме, удобной для построения структурной схемы САР. В результате получаем:

В структурном виде эти уравнения могут быть изображены следующим образом:

К₃

К₁

б)

а)

в)

Рисунок 2. Составляющие структурной схемы САР

Структурная схема САР, соответствующая системе преобразованных операторных уравнений, представлена на рисунке 3. По структурной схеме легко прослеживается взаимодействие звеньев в системе регулирования перепада давления топлива на дроссельном кране.

Рисунок 3. а. Структурная схема САР; б. Структурная схема САР по управляющему воздействию δy.

При действии одного управляющего воздействия предполагается, что =0.

САР имеет одну обратную связь. Передаточная функция разомкнутой САР по возмущающему воздействию определяется по формуле:

Собственный оператор разомкнутой САР имеет вид:

САР имеет одну обратную связь. Передаточная функция замкнутой САР по возмущающему воздействию определяется по формуле:

Собственный оператор замкнутой САР имеет вид:

4. Анализ устойчивости сар.

Построим D-разбиение в плоскости параметра k₅ . Решаем уравнение :

.

Подставляя в данное уравнение значения всех численных параметров САР (см. задание) и решая его относительно коэффициента k₃, получаем следующее выражение:

.

Воспользовавшись программой RADIS, определим действительную и мнимую составляющие частотной функции k₃ для ряда значений частот (f_min=0, f_max=5 Гц). В результате расчёта и построения получаем кривую D-разбиения для положительных значений частот (рис. 4).

I

II

III

Рисунок 4. D - разбиение в плоскости коэффициента k₃: I – область наибольшей вероятности устойчивой работы; II, III – области неустойчивой работы САР.

Зеркальным отображением кривой относительно действительной оси дополняем кривую D-разбиения для отрицательных частот колебаний. Кривая D-разбиения заштриховывается с левой стороны по мере возрастания частоты колебаний f . Воспользовавшись правилом подсчёта корней характеристического уравнения для каждой из выделенных областей D- разбиения определяем область I , соответствующую наибольшему числу корней с отрицательной вещественной частью, т.е. более вероятную область устойчивости САР.

Для проверки устойчивости САР в области I зададимся величиной Re k₃ , взятой из этой области: k₃=0, и запишем характеристический полином или собственный оператор замкнутой САР с числовыми значениями коэффициентов:

.

Для проверки устойчивости САР по критерию Рауса-Гурвица составим квадратную матрицу Гурвица из коэффициентов a₀…a_n:

при проанализируем знаки диагональных миноров:

;

;

;

.

Все диагональные миноры положительны, следовательно, САР устойчива и область I D-разбиения является областью устойчивости САР. Максимальное допустимое значение коэффициента k₃ =17,65.

Проверка устойчивости САР по критерию Найквиста.

Для проверки устойчивости по критерию Найквиста анализируем разомкнутую систему. Передаточная функция разомкнутой САР имеет вид:

.

Вначале определим устойчивость разомкнутой системы по критерию Рауса – Гурвица. Для этого используется собственный оператор разомкнутой САР с числовыми значениями коэффициентов, при К₃=1:

.

.

При проанализируем знаки диагональных миноров:

;

;

;

Все диагональные миноры положительны, следовательно, САР устойчива и область I D-разбиения является областью устойчивости САР.

Затем, воспользовавшись программой RADIS, рассчитываем по выражению и строим АФЧХ разомкнутой САР.

Рисунок 5 – АФЧХ разомкнутой САР частоты вращения.

Из графика следует, что АФЧХ разомкнутой САР не охватывает точку с координатой (-1; jo), следовательно, замкнутая САР будет устойчива.