4. Анализ устойчивости сар
Построим D-разбиение в плоскости параметра
k1 . Решаем уравнение
:
.
Подставляя в данное уравнение значения всех коэффициентов и численные значения параметров САР (см. задание) и решая его относительно коэффициента k1, получаем следующее выражение:
Воспользовавшись программой RADIS, определим действительную и мнимую составляющие частотной функции k1 для ряда значений частот. В результате расчёта и построения получаем кривую D-разбиения для положительных значений частот (рис.5).
III
II
I
Рисунок 5. D - разбиение в плоскости коэффициента k7: I – область наибольшей вероятности устойчивой работы; II, III – области неустойчивой работы САР
Кривая D-разбиения заштриховывается с левой стороны по мере возрастания частоты колебаний. Воспользовавшись правилом подсчёта корней характеристического уравнения для каждой из выделенных областей D- разбиения определяем область I , соответствующую наибольшему числу корней с отрицательной вещественной частью, т.е. более вероятную область устойчивости САР.
Для проверки устойчивости САР в области I зададимся величиной Re k1 , взятой из этой области: k1=0, и запишем характеристический полином или собственный оператор замкнутой САР с числовыми значениями коэффициентов:
.
Для проверки устойчивости САР по критерию Рауса-Гурвица составим квадратную матрицу Гурвица из коэффициентов a0…an:
при
проанализируем знаки диагональных
миноров:
;
;
;
.
Все диагональные миноры положительны, следовательно, САР устойчива и область I D-разбиения является областью устойчивости САР.
Для проверки устойчивости по критерию Найквиста анализируется АФЧХ разомкнутой системы. Передаточная функция разомкнутой САР при принятых значениях коэффициентов имеет вид:
;
Вначале определяется устойчивость системы. Для этого используется собственный оператор разомкнутой САР с числовыми значениями коэффициентов:
Воспользовавшись программой RADIS, рассчитывается и строится АФЧХ разомкнутой САР. Из представленного на рис. 6 графика следует, что АФЧХ разомкнутой САР не охватывает точку с координатой (-1;j0), следовательно, замкнутая САР будет устойчива.
Рисунок 6. Амплитудно-фазочастотная характеристика разомкнутой САР следящей системы
5. Оценка качества регулирования сар
Качество регулирования САР определяется по показателям качества переходного процесса при ступенчатом управляющем и возмущающем воздействиях. Переходные характеристики рассчитываются по алгоритму и программе RADIS.
При заданных исходных данных передаточная функция замкнутой САР при управляющем воздействии имеет вид:
Задаваясь
тремя значениями коэффициента k1
из области устойчивости D- разбиения,
например, k1 =0,4; 0,5; 0,6,
определяем переходные характеристики
при ступенчатом возмущающем воздействии
.
Переходные характеристики рассчитываем
по последнему выражению с использованием
программы RADIS. Шаг интегрирования
принимаем равным
с, время интегрирования
с.
а б в
Рисунок 7. Переходные характеристики САР частоты вращения авиационного ТРД (а – при k1 =0,4, б – при k7 =0,5, в – при k7 =6)
Из анализа графических зависимостей следует, что увеличение коэффициента усиления звена k7 в прямой цепи регулирования САР приводит к колебательному переходному процессу и в тоже время к снижению статической погрешности. Изменяя коэффициент k1, можно добиться приемлемых показателей качества регулирования. Так, например, при k1 = 0,5 будут следующие показатели качества регулирования:
- максимальная величина перерегулирования;
с
– время регулирования, в течение которого
заканчивается переходный процесс (при
допуске ±5% от
);
N = 6 – число периодов колебаний за время переходного процесса;
с-1 – угловая
частота собственных колебаний.
K7 |
tрег, c |
σmax, % |
N |
0,4 |
3 |
3,3 |
4 |
0,5 |
4,5 |
4,1 |
6 |
0,6 |
6,5 |
3,5 |
9 |