2.1Нечеткие числа и операции над ними
Нечеткое число – это нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности, то есть такую, что а) существует такое значение носителя, в котором функция принадлежности равна единице, а также а) при отступлении от своего максимума влево или вправо функция принадлежности убывает.
2.1.1 Функция принадлежности
Функция принадлежности А(u) -– это функция, областью определения которой является носитель U, u 3 U, а областью значений – единичный интервал [0,1]. Чем выше А(u), тем выше оценивается степень принадлежности элемента носителя u нечеткому множеству U.
Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству U. Множество M называют множеством принадлежностей
На рис. 1.3 представлена функция принадлежности нечеткого множества «Оптимальный возраст работающего», полученная на основании опроса ряда экспертов.
\
Рис. 1‑3. Функция принадлежности нечеткого множества «Оптимальный возраст работающего»
На приведенном рисунке видно, что возраст от 20 до 35 оценивается экспертами как бесспорно оптимальный, а от 60 и выше – как бесспорно неоптимальный. В диапазоне от 35 до 60 эксперты проявляют неуверенность в своей классификации, и структура этой неуверенности как раз и передается графиком функции принадлежности.
В практике финансово – экономического анализа наиболее часто используются два типа функций принадлежности (нечетких чисел).
2.1.2Трапециевидное (нечеткое число
Исследуем некоторую квазистатистику и зададим лингвистическую переменную = «Значение параметра U», где U – множество значений носителя квазистатистики. Выделим два терм-множества значений: T1 = «U у лежит в диапазоне примерно от a до b» с нечетким подмножеством М1 и безымянное значение T2 с нечетким подмножеством М2, причем выполняется М2 = М1. Тогда функция принадлежности T1(u) имеет трапецевидный вид, как показано на рис. 1.4
Рис. 1‑4. Функция принадлежности трапециевидного нечеткого числа
Поскольку границы интервала заданы нечетко, то разумно ввести абсциссы вершин трапеции следующим образом:
а = (а1+а2)/2, в = (в1+в2)/2, ( 1‑0)
при этом отстояние вершин а1, а2 и в1, в2 соответственно друг от друга обуславливается тем, что какую семантику мы вкладываем в понятие «примерно»: чем больше разброс квазистатистики, тем боковые ребра трапеции являются более пологими. В предельном случае понятие «примерно» вырождается в понятие «где угодно».
Если мы оцениваем параметр качественно, например, высказавшись «Это значение параметра является средним», необходимо ввести уточняющее высказывание типа «Среднее значение – это примерно от a до b», которое есть предмет экспертной оценки (нечеткой классификации), и тогда можно использовать для моделирования нечетких классификаций трапециевидные числа. На самом деле, это самый естественной способ неуверенной классификации.
Трапециевидные числа еще иногда называют нечетким интервалом. Действительно, именно с границами интервала и их соотнесением с качественной лингвистической категорией у эксперта возникают проблемы. Поэтому закономерно сопоставить трапециевидному числу высказывание такого, например, вида: «низкое значение параметра Х колеблется где-то от 0.2 до 0.4». В слове «где-то» заключена та суть, что левый конец интервала составляет примерно 0.2, а правый – примерно 0.4, и эта примерность интерпретируется ребром трапеции с соответствующим наклоном
Замечание.
В дальнейшем мы часто будем ссылаться на вид функций принадлежности, поэтому, во избежание изобилия графиков, введем некий математический формализм, позволяющий компактное описание этих функций. Поставим в однозначное соответствие функции принадлежности m (V) нечеткое число
(а1 , а2 , а3, а4) ( 1‑0)
где а1 и а4- абсциссы нижнего основания, а а2 и а3- абсциссы верхнего основания трапеции (рис.1-4), задающей m в области с ненулевой принадлежностью носителя V соответствующему нечеткому подмножеству Назовем числа b трапециевидными или, кратко, Т-числами.