17.3. Прогибы железобетонных элементов, работающих без трещин

Расчет прогибов железобетонных элементов, работающих без трещин, производят в соответствии с линейно-упругой моделью. Прогибы железобетонного элемента a(x) в стадии I напряженно-деформированного состояния могут быть определены с использованием кривизны j_x, которая из уравнений изогнутой оси в общем случае равна:

(17.3)

где EJ(x) – изгибная жесткость сечения (х) по длине элемента.

В соответствии с правилами строительной механики уравнение для определения прогиба может быть записано в виде:

(17.4)

или

(17.5)

где – изгибающий момент в сечении «х» от действия единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения элемента в сечении х по длине пролета, для которого определяют прогиб;

– кривизна элемента в сечении «х» от расчетной комбинации внешних нагрузок, при которой определяется прогиб;

M_Sd(x) – изгибающий момент в сечении «х» от расчетной комбинации внешних нагрузок, при которой определяется прогиб;

B_x,m – изгибная жесткость железобетонного элемента в сечении «х».

Жесткость железобетонного элемента, работающего без трещин, выражается в зависимости от длительности действия нагрузки и момента инерции сечения в стадии I напряженно-деформированного состояния:

–        при длительно действующих нагрузках

; (17.6)

–        при кратковременных нагрузках

, (17.7)

где E_c,eff – так называемый эффективный модуль упругости, определяемый с учетом ползучести бетона по формуле:

; (17.8)

E_cm – средний модуль упругости бетона

j(t,t0) – коэффициент ползучести бетона.

В соответствии с требованиями норм при расчете прогибов необходимо учитывать влияние усадочных деформаций бетона на величину кривизны железобетонного элемента. При этом принято, что дополнительная кривизна связана с ограничением усадочных деформаций продольной арматуры элемента. Кривизну железобетонного элемента, работающего без трещин, с учетом усадочных деформаций определяют по формуле:

(17.9)

где – относительная деформация свободной усадки к моменту времени t; допускается принимать предельное значение деформации усадки ;

S_Is – статический момент продольной арматуры относительно ц.т. сечения, определяемый по формуле:

(17.10)

здесь z₁ и z₂ – расстояния от центров тяжести площадей арматуры A_s1 и A_s2 до центра тяжести сечения рассчитываемого элемента.

17.4. Прогибы железобетонных элементов, работающих с трещинами

Определение кривизны железобетонного элемента, работающего с трещинами. В элементе, работающем с трещинами, изгибная жесткость изменяется по длине элемента, при этом ощутимое отличие может наблюдаться даже в соседних сечениях. Изменение изгибной жесткости B_II по длине железобетонного элемента, работающего с трещинами, схематично показано на рис. 17.2.

Рис. 17.2. Распределение изгибных жесткостей по длине железобетонного элемента, работающего с трещинами

В инженерных расчетах прогибов прибегают к определенным упрощениям, которые основываются главным образом на усреднении жесткости сечений на участке между трещинами и жесткости в сечениях, проходящих через трещину (штриховая линия на рис. 17.2). Еще большим упрощением является усреднение жесткости по длине элемента.

Для получения исходного выражения кривизны рассмотрим участок железобетонного элемента с трещинами в растянутой зоне (рис. 17.3). Тогда – укорочение бетона в крайнем сжатом волокне сжатой зоны на длине участка , а – удлинение растянутой арматуры на том же участке (e_cm и e_sm – средние относительные деформации соответственно крайнего сжатого волокна бетона и растянутой арматуры).

Рис. 17.3. К определению кривизны элемента, работающего с трещинами в растянутой зоне

Из подобия треугольников ABC и DOF, принимая во внимание разные знаки деформаций удлинения и укорочения, получаем:

(17.11)

или

(17.12)

Таким образом, для участков элемента, где в растянутой зоне имеются трещины, нормальные к продольной оси элемента, кривизна определяется как отношение разности средних относительных деформаций крайнего сжатого волокна бетона и продольной растянутой арматуры к рабочей высоте сечения. Задача сводится к вычислению средних деформаций e_sm и e_cm от усилий, действующих в сечении при заданной нагрузке.

Средние относительные деформации крайнего сжатого волокна бетона определяются по относительным деформациям крайнего сжатого волокна в сечении с трещиной, нормальном к продольной оси, умноженным на коэффициент, учитывающий неравномерность распределения деформаций сжатого бетона по длине между трещинами.

Средние относительные деформации крайнего растянутого арматурного стержня определяются по относительным деформациям крайнего растянутого арматурного стержня в сечении с трещиной, нормальном к продольной оси элемента, умноженным на коэффициент, учитывающий неравномерность распределения деформаций растянутой арматуры по длине между трещинами.

Значение _cm определяют по формуле

, (17.13)

где _cс — относительная деформация крайнего сжатого волокна бетона в сечении с трещиной;

с — коэффициент, учитывающий неравномерность распределения относительных деформаций сжатого бетона между трещинами. Значение коэффициента допускается принимать равным 0,9.

Относительные деформации крайнего сжатого волокна бетона _cс и крайнего растянутого стержня продольной арматуры _s в сечении с трещиной в общем случае следует определять из решения расчетной системы уравнений деформационной модели от действия момента, вызванного расчетными усилиями для предельных состояний второй группы.

Значения _cс и _s допускается определять по формулам:

, (17.14)

, (17.15)

где _cс — напряжение в крайнем сжатом волокне бетона в сечении с трещиной;

_s — напряжение в крайнем растянутом стержне продольной арматуры в сечении с трещиной.

Значения _cс и _s допускается определять из условно упругого расчета сечения с трещиной, нормального к продольной оси, включающего сжатую зону бетона с приведенным модулем упругости E_c,red, сжатую и растянутую арматуру с модулем упругости E_s.

Для изгибаемых элементов прямоугольного, таврового и двутаврового сечений с арматурой, сосредоточенной у растянутой и сжатой граней сечения, и усилиями, действующими в плоскости симметрии сечения, значения _cс и _s допускается определять по формулам:

, (17.16)

, (17.17)

где A_cc — площадь сжатого бетона в сечении с трещиной;

A_s — площадь растянутой арматуры в сечении с трещиной;

z — расстояние между центрами тяжести площади сжатого бетона и растянутой арматуры.

Значения A_cc и z допускается определять из расчета изгибаемых элементов по предельным усилиям в сечении, нормальном к продольной оси.

Изгибную жесткость элемента с трещинами в общем случае следует определять по формуле

. (17.18)

Допускается определять изгибную жесткость железобетонного элемента с трещинами по формуле

, (17.19)

где E_c,eff — эффективный модуль упругости бетона;

I_II , I_I — соответственно момент инерции сечения с трещиной и без трещины, определяемый с учетом отношения .

Значения эффективного модуля упругости бетона E_c,eff определяются:

— при действии кратковременной нагрузки

E_c,eff = E_cm; (17.20)

— при действии длительной нагрузки

, (17.21)

где (,t₀) — предельное значение коэффициента ползучести для бетона.