Простейшие помехоустойчивые коды

Ниже приводятся примеры построения помехоустойчивых кодов на основе эвристических представлений, изложенных выше.

Код с четным числом единиц является двоичным блочным кодом и образуется путем добавления к кодовому слову -символьного кода одного избыточного символа так, чтобы количество единиц в новом -символьном слове было четным, . В таблице 7.1 приведен пример кодирования кода . Такой код обнаруживает все ошибки нечетной кратности. Обнаружение ошибок производится проверкой принятого кодового слова на четность, так как все разрешенные слова имеют четное число единиц, а неразрешенные - нечетное.

Т а б л и ц а 7.1 – Таблица кодирования

1	2	3	4	5	6
1 0	0 1	1 0	1 0	0 1	1 0

Проверка на четность осуществляется суммированием всех символов слова по модулю двух. Если слово имеет четное число единиц, то сумма его символов по модулю 2 ( ) равна 0. Скорость этого кода  0, 8.

Инверсный код образуется повторением исходного кодового слова (таблица 7.2). Если число единиц в исходном слове четное (строка а)), оно повторяется в неизменном виде; если – нечетное (строка б)), то при повторении все символы исходного кодового слова инвертируются (нули заменяются единицами, а единицы - нулями). Скорость инверсного кода равна 0,5.

Т а б л и ц а 7.2 – Таблица кодирования инверсного кода

	1	2	3	4	5	6		7	8	9	10
a) б)	1 0	0 1	1 1	1 0	1 1	1 1		0 0	1 0	1 1	1 0

Для обнаружения ошибок в кодовом слове, состоящем из символов, производится суммирование единиц, содержащиеся в первых символах; если число единиц четное, то последующих символов сравниваются попарно с первыми символами; если число единиц в первых символах нечетное, то последующие символы перед сравниванием инвертируются.

Несовпадение хотя бы одной из пар сравниваемых символов указывает на наличие ошибки в кодовом слове. Ошибка в кодовом слове не обнаруживается, если одновременно искажается четное число символов в исходном слове и соответствующие им кодовые символы в последовательности повторяемых символов. Например, если в кодовом слове 1011001001 искажены 1-й, 2-й, 6-й, 7-й символы, то ошибка не может быть обнаружена, так как образуется другое разрешенное слово – 0111010001.

Для инверсного кода можно построить алгоритм декодирования, который позволит исправлять некоторые ошибки.

Энергетический выигрыш от кодирования

Энергетический выигрыш от кодирования (ЭВК) указывает на улучшение качества системы связи от использования данного способа кодирования или метода защиты от ошибок и определяется выражением:

, (7.8)

где , – отношения сигнал/шум в сравниваемых системах без защиты и с защитой от ошибок при одинаковой вероятности ошибок на выходе; – скорость системы с защитой от ошибок.

Например, для системы с кодом, исправляющим ошибки, относительная скорость равна , т.е. равна скорости кода. Если в первой системе нет помехоустойчивого кодирования, а вторая система использует код с обнаружением ошибок и переспросом (см. раздел 7.6), то , где – средняя скорость передачи символа кода в системе с переспросом, - скорость передачи символов кода в канале.

Если снять ограничения на длину кодового слова и полосу частот, то предельное значение ЭВК в канале связи с гауссовским шумом равно:

, (7.9)

где – энергия сигнала, обеспечивающая заданную вероятность ошибок декодирования; – спектральная плотность помехи.

ЭВК зависит от вида используемого модулятора и демодулятора. Например, при когерентном приеме ортогональных сигналов и вероятности ошибки 10^-5 предельное значение ЭВК достигает 14,2 дБ, при некогерентном приеме это значение еще выше.

В реальных системах связи длина кода и занимаемая полоса частот ограничены, для этих условий может быть определен асимптотический выигрыш для данного кода, зависящий только от скорости кода и кодового расстояния:

• для каналов с жестким решением на выходе демодулятора

(7.10)

• для декодеров с мягким решением на выходе демодулятора

. (7.11)

Такой выигрыш достигается, когда отношение сигнал/шум стремится к бесконечности ( → ∞). Мягкие решения позволяют обеспечить дополнительный выигрыш, но не более 3 дБ и существенно меньше при реальных отношениях сигнал/шум.

ЭВК может использоваться как критерий целесообразности применения помехоустойчивого кодирования. Если модем не может быть заменен на более эффективный, то значение ЭВК > 0 означает, что применение данного кода энергетически выгодно.

При фиксированной скорости передачи информации в качестве критерия применимости данного помехоустойчивого кода может использоваться выигрыш в помехоустойчивости (например, степень уменьшения вероятности ошибок на выходе) или, наоборот, при заданной помехоустойчивости код позволяет получить выигрыш в скорости передачи.