7 Расчёт полосовых активных rc-фильтров

7.1 Передаточная функция пф

Полосовые фильтры пропускают сигналы в некоторой полосе частот от нижней частоты среза f_сн до верхней частоты среза f_св и задерживают сигналы с частотами ниже нижней частоты задержания f_зн и выше верхней частоты задержания f_зв (рис. 4.1). Ширина полосы пропускания f_c определяется на уровне K_c (или M_c)

,

ширина полосы задержания f_з определяется на уровне K_з (или M_з)

.

Области от f_сн до f_зн и от f_св до f_зв носят название переходных областей (или участков).

Средняя (центральная) частота ПФ f₀

или .

Добротность фильтра Q_пф характеризует качество самого фильтра и является мерой его избирательности

.

Коэффициент прямоугольности ПФ определяется по формуле

.

Передаточные функции ПФ можно получить из нормированных функций ФНЧ переменной P с помощью преобразования

,

где .

Таким образом, порядок ПФ в 2 раза выше, чем порядок соответствующего ему ФНЧ и всегда является чётным. При расчёте ПФ следует иметь в виду, что фильтры высокого порядка требуют использования более точных значений элементов, чем фильтры более низких порядков.

ПФ подразделяются на широкополосные и узкополосные. Фильтр считается узкополосным в том случае, если Q_пф > 1. В этом случае в качестве звеньев фильтра используются устройства, обладающие квазирезонансными свойствами. При реализации широкополосных фильтров используются два каскадно-соединённых фильтра: ФНЧ и ФВЧ. В данном пособии рассмотрена методика проектирования узкополосных активных полосовых фильтров.

Первым этапом проектирования ПФ является нахождение ФНЧ изображения. Для этого необходимо выполнить преобразование частот.

Рис. 7.1. Преобразование частот ПФ

На рис. 7.1,а показана реальная амплитудно-частотная характеристика ПФ. Вначале от неё переходят к эквивалентной центрированной (рис. 7.1,б), а затем – к нормированной функции изображения ФНЧ (рис. 7.1,в).

Первое преобразование выполняют с помощью выражения

.

Используя приведённые ранее выражения и , получаем f'₀ = 0, f'_с = f_св – f_сн = f_с, f'_з = f_зв – f_зн = f _з.

Нормированная функция изображения ФНЧ определяется по выражению

,

где  – нормированная частота ПФ,  = (f_св – f_сн) / f₀ – нормированная полоса пропускания ПФ, ' – нормированная частота ФНЧ изображения.

По результатам расчётов полосе пропускания ПФ соответствует полоса среза ФНЧ изображения, нормированная частота среза ФНЧ изображения '_с = 1, нормированная частота задержания ФНЧ изображения

.

Далее производится выбор вида аппроксимации определённой частотной характеристики ФНЧ изображения. Коэффициенты ослабления на частотах среза и задержания для ФНЧ изображения берутся такими же, что и для исходного ПФ.

Передаточная функция ФНЧ первого порядка имеет вид

.

Данному фильтру будет соответствовать ПФ второго порядка с передаточной функцией вида

,

где _p – собственная нормированная частота ФНЧ изображения первого порядка, K – коэффициент усиления фильтра.

ФНЧ второго порядка будет соответствовать ПФ четвёртого порядка, имеющий передаточную функцию

,

где _p – собственная нормированная частота ФНЧ изображения второго порядка, d_p – коэффициент затухания ФНЧ изображения второго порядка, K – общий коэффициент усиления двух звеньев, реализующих передаточную функцию четвёртого порядка.

Передаточную функцию четвёртого порядка можно представить в виде произведения двух сомножителей – функций второго порядка.

(7.1)

и

, (7.2)

где

,

.

K₁ и K₂ представляют собой коэффициенты усиления двух полосовых звеньев и должны выбираться таким образом, чтобы выполнялось равенство

,

где K – общий коэффициент усиления фильтра четвёртого порядка.

Типовую передаточную функцию ПФ второго порядка или звена второго порядка фильтра более высокого порядка можно записать в следующем виде:

. (7.3)

Параметры ,  и  определяют путём приравнивания последнего выражения к соответствующим выражениям (7.1) или (7.2).

Существуют три варианта расчёта элементов полосового звена второго порядка, соответствующие разным случаям ПФ.

Вариант а. Расчёт ПФ, который имеет только одно звено второго порядка и обеспечивает заданную АЧХ. Добротность фильтра в данном случае Q_пф  10. Для подобного фильтра нет необходимости определять ФНЧ изображения.

Коэффициенты передаточной функции определяются следующим образом:

; ;  = 1.

Вариант б. Расчёт звена второго порядка ПФ, соответствующего звену первого порядка ФНЧ изображения.

Коэффициенты передаточной функции определяются по выражениям:

; ;  = 1.

Вариант в. Расчёт двух звеньев второго порядка ПФ четвёртого порядка, соответствующего звену второго порядка ФНЧ изображения.

Коэффициенты передаточной функции определяются для двух звеньев по разным формулам.

Для первого звена

; ; .

Для второго звена

; ; .

После определения передаточной функции звеньев ПФ можно приступать к выбору схемы реализации фильтра и расчёту элементов схемы.