2.12. Определение перемещений в упругих системах

Эта тема является вводной в теорию расчета статически неопределимых систем и поэтому надо обратить внимание на изучение ее основных положений.

Перемещением называется изменение координаты точки, положения сечения или тела. Не следует путать понятия пере­мещения и деформации. Перемещения возможны без дефор­мации. Деформации без перемещений невозможны, то есть деформациям всегда сопутствуют и перемещения. В теме це­лесообразно выделить следующие вопросы:

а) перемещения, их обозначения и теоремы о перемещени­ях;

б) работы внешних и внутренних сил и теоремы о работе сил;

в) интеграл Мора для определения перемещений;

г) определение перемещений по способу Верещагина и пре­делы его применимости.

При изучении первого вопроса надо ознакомиться с уни­версальным обозначением перемещений и значением индек­сов при них. Необходимо запомнить, что первый индекс ука­зывает точку, перемещение которой надо найти (или направ­ление перемещения), а второй — фактор (нагрузка силовая или несиловая), который вызывает перемещение. Следует обратить внимание на то, что в обозначениях не делаются различия между линейными и угловыми перемещениями. За­тем надо рассмотреть работу внешних и внутренних сил, по­тенциальную энергию деформации системы и уравнение ра­бот. Необходимо запомнить — при статическом нагружении и линейной зависимости между нагрузкой и перемещением можно принять, что работа внешних сил равняется работе внутренних сил, взятой с обратным знаком. Различают два вида работ внешних и внутренних сил: действительную и по­бочную. Надо четко усвоить как они находятся и уяснить, по­чему имеются различия при их определении. Далее следует изучить выводы формулы и разобрать свойства потенциаль­ной энергии системы. Рассмотрев вывод теоремы о взаимно­сти перемещений (Максвелла), необходимо отметить, что вто­рая теорема —это частный случай первой, запомнить их фор­мулировки и закрепить применение этих теорем разбором числовых примеров. Особое внимание нужно уделить выводу формулы Мора (интегралу Мора) для определения переме­щений плоских стержневых систем в случае действия изги­бающей нагрузки. Необходимо уяснить и запомнить последовательность опреде­ления перемещений по этой формуле:

1. В точке (или сечении) но направлению искомого пере­мещения прикладывается единичный силовой фактор. Если ищется линейное перемещение, то прикладывается единичная сила, если угловое — единичный момент.

2. По участкам выписываются текущие выражения изгибающего момента от заданной нагрузки и единичного силового фактора.

Полученные выражения подставляются в интегралы, рас­ставляются пределы и выполняется интегрирование в преде­лах каждого участка. Формула Мора является основой рас чета статически неопределимых систем. Умение пользоваться этой формулой может быть закреплено лишь решением при­меров и задач, так как здесь нужны практические навыки. Поэтому необходимо обратить внимание на технику вычис­лений при определении перемещений и на способы упроще­ния этих вычислений.

В системах, образованных прямолинейными элементами (балки и рамы), процесс интегрирования при определении перемещений можно заменить перемножением соответствую­щих эпюр способом Верещагина. Необходимо рассмотреть доказательство способа Верещагина и четко усвоить правило перемножения эпюр — площадь одной эпюры умножается на ординату другой, взятую под центром тяжести первой. Надо обратить внимание на то, что ордината всегда берется в ли­нейной эпюре, что сложные эпюры можно разбивать на прос­тые, их составляющие (способ расслоения эпюр).

Вопросы для самопроверки

1. Что такое перемещение? Чем перемещения отличают­ся от деформаций?

2. Как обозначаются перемещения и расшифровываются индексы при них?

3. Что называют работой внешних и внутренних сил сис­темы и какова связь между этими работами?

4. В чем состоит теорема о взаимности работ?

5. В чем состоит теорема о взаимности перемещений?

6. Какой вид имеет общая формула перемещений (интег­рал Мора)?

7.Какова техника определения перемещений при исполь­зования интеграла Мора?

8. В чем состоит способ Верещагина для определения перемещений и когда он пригоден?