2.6. Геометрические характеристики плоских сечений

В теории изгиба важную роль играют моменты инерции сечения. Следует напомнить и повторить из теоретической механики правила нахождения центров тяжести сечения и статические моменты плоских фигур.

Изучить методику вычисления моментов инерции для простейших плоских фигур (прямоугольника, треугольника, круга).

При изучении теоремы о переносе осей необходимо иметь в виду, что эта теорема справедлива только в том случае, если ось проходит через центр тяжести

Необходимо разобраться в соотношении между осевым и полярным моментами инерции. Оси, относительно которых центральный момент инерции равен нулю, а осевые моменты имеют экстремальные значения, называются главными осями. Положение главных центральных осей инерции площади сечения определяется углом наклона их к центральным осям, моменты инерции относительно которых известны.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое статический момент сечения? Как он опре­деляется относительно произвольной оси? Чему равен стати­ческий момент сечения относительно центральной оси?

2. По каким формулам находят координаты центра тя­жести плоской фигуры?

3. Что такое осевой момент инерции сечения и в каких единицах измеряется его величина?

4. Чему равна сумма осевых моментов инерции относи­тельно двух взаимно перпендикулярных осей?

5. Что такое центробежный момент инерции?

6. Какова зависимость между осевыми и полярными мо­ментами инерции данного сечения?

7. Какова зависимость между осевыми моментами инер­ции относительно центральных и им параллельных осей?

8. Относительно каких центральных осей осевые момен­ты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения?

9. Какие оси, проведенные в плоскости сечения называ­ются главными и какие главными центральными осями?

10. Напишите формулы главных центральных осевых мо­ментов инерции для прямоугольника, круга, кольца.

11. Как определить положение главных центральных осей составного сечения, имеющего ось симметрии?

12. Какой из двух моментов инерции треугольника боль­ше: относительно оси, совпадающей с основанием, или отно­сительно оси, проходящей через вершину параллельно осно­ванию?

13. В каком соотношении находятся моменты инерции квадратного сечения относительно центральной оси, проходя­щей параллельно сторонам, и относительно оси, проходящей через диагональ?

2.7. Поперечный изгиб

Изучение этой темы следует начинать с выяснения вопроса о внутренних силовых факторах, действующих в поперечных сечениях балки при ее изгибе. Параллельным переносом всех внешних сил, в том числе сил реакции, в центр тяжести рассматриваемого сечения балки легко установить, что внутренними силовыми факторами будут изгибающий момент М и поперечная сила Q. Необходимо иметь ввиду, что попереч­ная в данном сечении равна алгебраической сумме проекций внешних сил, расположенных только по одну сторону (справа или слева) от рассматриваемого сечения на плоскость, перпендикулярную оси балки, а изгибающий момент в данном сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил (расположенных справа или слева от сечения), относительно центра тяжести сечения. При этом нужно строго придерживаться правила знаков для внешних и внутренних силовых факторов и уметь строить эпюры изгибающих моментов поперечных сил. Для проверки правильности построения эпюр целесообразно пользоваться дифференциальной зависимостью между изгибающим моментом, поперечной интенсивностью распределенной нагрузки.

Необходимо также знать формулы для определения нормальных и касательных напряжений в произвольной точке. Обратить внимание на неравномерность нормальных и касательных напряжений по высоте сечения. Следует помнить, что формула для определения нормальных напряжений выведена для чистого из­гиба, однако она применима и для случая поперечного изги­ба.

Нужно уметь записывать условия прочности по нормаль­ным и касательным напряжениям. Сравнивая эпюры, изгиба­ющих моментов и поперечных сил для балки, у которых про­лет значительно превышает высоту сечения балки, можно убедиться в том, что нормальные напряжения по модулю на­много больше касательных в одном и том же сечении. Это обстоятельство позволяет в большинстве случаев пренебречь касательными напряжениями и вести расчеты па изгиб толь­ко по нормальным.

В дальнейшем следует перейти к изучению вопроса об оп­ределении деформаций (углов поворота поперечных сечений и прогибов балки) интегрированием дифференциального урав­нения её изогнутой оси. Познакомиться с универсальными уравнениями начальных параметров, а также следует изучить графоаналитический метод вычисления углов поворота и про­гибов, являющийся в некоторых случаях наиболее рациональ­ным.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение понятиям «прямой чистый изгиб», «прямой поперечный изгиб», «косой изгиб».

2. Как находится поперечная сила в каком-либо сечении балки? Когда поперечная сила считается положительной?

3. Как находится изгибающий момент в каком-либо сечении балки? В каком случае изгибающий момент считается положительным?

4. Напишите формулу для определения нормального напряжения в произвольной точке поперечного сечения бруса, работающего на изгиб. Какой момент инерции входит в ука­занную формулу?

5. Как записывается условие прочности при изгибе?

6. Напишите формулы для определения осевых моментов сопротивления для балок круглого, кольцевого и прямоуголь­ного сечений.

7. Какие формы поперечных сечений рациональны для балок из пластичных материалов?

8. В каких плоскостях возникают касательные напряже­ния при изгибе? Как находится их величина?

9. Как записывается дифференциальное уравнение изогнутой оси балки?

10. Как находят прогиб балки графоаналитическим методом?

11. Напишите универсальное уравнение для определения перемещений при изгибе?