5. Метод конечных разностей.

Метод конечных разностей или меток сеток на сегодняшний день является одним из самых распространенных методов приближенного решения краевых задач. Суть метода в следующем:

1. Область непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного аргумента, выделяются точки, называемые узлами. Наносится сетка.

2. Область непрерывного изменения функции заменяется областью дискретного изменения функции, когда функция определена только в узлах сетки и называется сеточной функцией.

3. Все производные, входящие в определяющие уравнение и краевые условия заменяются (аппроксимируются) алгебраическими соотношениями сеточных функций.

4. Вместо интегрирования дифференциального уравнения записывают разностную схему и решают систему линейных алгебраических уравнений.

При использовании МКР нужно:

1. Выбрать сетку;

2. Выбрать разностную схему;

3. Определить точность аппроксимации;

4. Проанализировать устойчивость и сходимость разностной схемы к точному решению;

5. Провести тестовый расчет.

Сетки и сеточные функции.

Свойства разностного решения и, в частности, его близость к точному решению зависит от точного выбора сетки.

Рассмотрим несколько видов сеток.

1. Равномерная сетка

- область изменения аргумента.

Разобьем этот отрезок точками , ^*10 на N равных частей длиной (h – шаг сетки). Таким образом мы задали равномерную сетку в области изменения аргумента. Обозначается:

2. Неравномерная сетка получается в том случае, когда ,

пример:

3. Сетка на плоскости.

Если шаги сетки по каждому из переменных (x, y) одинаковы, то сетка называется равномерной. Если же хотя бы по одной переменной шаг непостоянен, то сетка – неравномерная. Введение сетки:

Метод конечных разностей сводится к замене производных, входящих в уравнения и краевые условия, разностными отношениями.

Классическое определение производной функции одной переменной записывается в виде:

Разложим функцию U в ряд Тейлора в окрестностях точки x₀

Положим, что , получим: *11 Это равенство называется правой разностью.

Другая форма записи правой разности:

Если , то получим левую разность:

Существует также третья форма записи разностного отношения, называемая центральной разностью:

Если задана функция u(x), то графически интерпретация производных трёх типов содержат:

AB – левая разность;

CB – правая разность;

АС – центральная разность.

Узлы, которые задействованы в аппроксимации производной, называются шаблонами аппроксимации.

Получим разностное соотношение для второй производной:

Сначала представим U_xx через U_x, используя правую разность:

(5.1)

Далее производные и рассмотрим через левую разность для того, чтобы конечный результат не был смещен вправо, т.е. чтобы не было погрешности.

(5.2)

Подставив (5.2) в (5.1), получим:

С использованием сетки вторая производная имеет вид:

Пример № 5.1.

Имеем уравнение теплопроводности стационарное и одномерное. Численное решение этого уравнения с помощью метода конечных разностей:

Сетка:

Система уравнений после подстановки:

или то же самое:

Запишем уравнения для каждого узла:

В этой системе уравнений 4 уравнения, 4 неизвестных, т.е. она решаемая.

Матрица коэффициентов (трехдиагональная матрица):

Если бы разбили на 100 элементов, получили бы 98 уравнений.

Такая матрица называется разреженной. Существуют специальные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами. Из прямых методов решения наиболее используемый – метод прогонки. Из итерационных – метод Гаусса-Зейделя.

Прямой метод – получение треугольной матрицы.

Метод Гаусса-Зейделя:

Пусть имеется 2 уравнения:

Выделяем диагональные члены:

(5.3)

(5.4)

Подставляются любые значения:

Т.е. берем любое число, подставляем в (5.3) вместо x₂, находим . Этот подставляем в уравнение (5.4) и находим , дальше подставляем в (5.3) и находим …

Это продолжается до тех пор, пока погрешность будет меньше заданной величины:

Итерационный метод сходится, если диагональные коэффициенты матрицы больше чем соседние, например:

Система решается, а система с переставленными строками – нет:

Нестационарные задачи теплопроводности.

В зависимости от того, как выбраны разностные соотношения для производных по времени и координатам получают разностные схемы, которые подразделяют на:

- явные разностные схемы

- неявные разностные схемы

Преимуществом явных является простота выражения неизвестных, которые определяются явно, т.е. сразу из уравнения. Недостатком явных разностных схем является условная её устойчивость, т.е. не для любого соотношения шагов по времени и координатам решение может быть получено. Для каждой конкретной задачи определяется свое соотношение шагов.

В неявных разностных схемах неизвестные определяются путем решения систем линейных алгебраических уравнений на каждом временном слое, т.е. отсутствует простота определения неизвестных, в отличие от явных схем, и это является недостатком. Достоинством же является безусловная устойчивость, т.е. нет ограничений по выбору шагов по времени и координатам.

Пример № 5.2

Рассмотрим нестационарное уравнение теплопроводности:

– коэффициент температуропроводности.

В данном случае температура является функцией двух переменных. Поэтому вводится сетка, как для переменной , так и для переменной y.

Производная по времени может быть аппроксимирована как правой, так и левой разностью. В каждом конкретном случае получают или используют свой шаблон.

Вводим сетку:

Разностные схемы:

- неявная, известно только :

(5.5)

- явная, т.е. неизвестно только , сразу выражаем, находим:

(5.6)

Разберем явную разностную схему.

Из (5.6) выразим : (5.7)

Шаблон для явной схемы:

Поскольку в этом шаблоне задействованы точки на двух временных слоях, то шаблон называется двухслойным.

ГУ в разностных соотношениях запишутся так:

(5.8)

Выражения (5.6) и (5.8) определяют систему уравнений.

Из (5.7) получаем значения для первого момента времени, потом – для второго и т.д.

Для данной задачи имеется ограничение: связь по времени:

Неявная разностная схема:

Выразим из (5.5) :

ГУ:

Шаблон для неявной разностной схемы:

Запишем систему уравнений для i=2:

(5.9)

В системе (5.9) известны , , а также все значения справа от знака равенства.

Решая систему (5.9), можно найти все значения температур на первом временном слое.

Зная значения на первом временном слое, можно найти значения температур во всех точках на втором временном слое (n=2):

В результате для каждого момента времени получаем свое распределение температуры по y.

Пример № 5.3

Бесконечный длинный цилиндр.

Введём сетку по r и  и запишем производные, входящие в уравнения и Г.У. в разностном виде:

(5.10)

(5.11)

(5.12)

(5.13)

Разностные уравнения:

Неявное:

(5.14)

Явное:

(5.15)

Задача задается одним определяющим уравнением и тремя ГУ:

Эту задачу можно решить двумя способами, используя явную или неявную разностную схему:

а) уравнения (5.10), (5.11), (5.13), (5.14);

б) уравнения (5.10), (5.12), (5.13), (5.15).

Разберем задачу (а).

Примем для простоты i=1..6 (6 уравнений)

Общее уравнение:

или

Запишем систему уравнений:

Трехдиагональная матрица коэффициентов:

(5.16)

При использовании неявной разностной схемы на каждом временном слое решается система линейных алгебраических уравнений с матрицей коэффициентов (5.16), которые неизменны, подставляя в правую часть столбец известных значений (поле температур) с предыдущего временного слоя.

Счет заканчивается при достижении выбранного времени или по условию выхода системы на стационар.