Решение систем линейных уравнений
(1)
Систему линейных уравнений можно записать в матричном виде:
,
где
Метод Гаусса
Система (1) путем последовательного исключения неизвестных приводится к системе с треугольной матрицей, из которой и определяются значения неизвестных.
Процесс исключения неизвестных:
Пусть a11≠0. Разделим первое уравнение на a11. Затем вычтем из каждого i–го (i≥2) уравнения, полученного после деления, первое, умноженное на ai1 . В результате, после преобразований x1 окажется исключенным из всех уравнений кроме первого.
По той же схеме исключается x2 , x3 и т.д.
Получается треугольная матрица с единичной главной диагональю.
Общая
формула определения неизвестных
Из последнего уравнения сразу определяется xn, далее, подставляя его в предпоследнее уравнение, получаем xn-1 и т.д.
Процесс нахождения неизвестных по способу Гаусса распадается на два этапа:
Первый – приведение к треугольному виду – прямой ход.
Второй – определение неизвестных по полученным формулам – обратный ход.
Процесс исключения k–го неизвестного называется k–м шагом прямого хода.
Элементы
называются ведущими.
Общие формулы пересчета коэффициентов системы на k-м шаге:
В
методе Гаусса происходит деление строк
на соответствующие ведущие элементы,
поэтому, если на каком-то k–м
шаге на главной диагонали окажется
нулевой элемент
,
то среди элементов
(i=k+1,..n)
следует найти ненулевой и перестановкой
строк переместить его на главную
диагональ, а затем продолжить вычисления.
Для этого следует воспользоваться, например, методом Гаусса выбора главного элемента в столбце.
Суть которого состоит в определении максимального элемента в столбце текущей строки и перестановке строки с максимальным элементом в столбце с текущей строкой, если такой найден.
'Задание исходных данных For i = 1 To n For j = 1 To n a1(i, j) = a(i, j) 'коэффициенты при неизвестных Next Next For i = 1 To n x(i) = b(i) 'свободные члены Next flag = False |
'прямой ход - исключение i-го неизвестного For i = 1 To n 'поиск главного элемента в i-м столбце k = i r = Abs(a1(i, i)) For j = i + 1 To n If Abs(a1(j, i)) > r Then k = j r = Abs(a1(j, i)) End If Next j If r = 0 Then 'определитель системы равен 0 flag = True Exit For End If If k <> i Then 'перестановка i-го и k-го уравнения r = x(k) : x(k) = x(i) : x(i) = r For j = 1 To n r = a1(k, j) : a1(k, j) = a1(i, j) : a1(i, j) = r Next j End If ' исключение i-го неизвестного r = a1(i, i) x(i) = x(i) / r For j = i To n a1(i, j) = a1(i, j) / r Next j For k = i + 1 To n r = a1(k, i) x(k) = x(k) - r * x(i) For j = i To n a1(k, j) = a1(k, j) - r * a1(i, j) Next j Next k Next i |
'обратный ход – определение неизвестных If flag Then Picture3.Print "матрица вырождена" Else For i = n - 1 To 1 Step -1 For j = i + 1 To n x(i) = x(i) - a1(i, j) * x(j) Next Next |