§ 1.3 Образец выполнения работы

Вариант № 100

Дана средняя заработная плата трактористов колхоза в руб.

xi-xi+1	100-150	150-200	200-250	250-300	300-350	350-400	400-450	450-500	500-550
mi	1	3	10	20	33	17	11	4	1

Выполнение работы.

Этап 1.

1. Представим исходные данные в виде дискретного вариационного ряда.

xi	125	175	225	275	325	375	425	475	525
mi	1	3	10	20	33	17	11	4	1

2. Вычислим числовые характеристики. Промежуточные расчеты оформим в виде таблицы.

Таблица №1

xi	mi	ui	mi·ui	mi·ui2	mi·ui3	mi·ui4
125	1	-4	-4	16	-64	256
175	3	-3	-9	27	-81	243
225	10	-2	-20	40	-80	160
275	20	1	-20	20	-20	20
325	33	0	0	0	0	0
375	17	1	17	17	17	17
425	11	2	22	44	88	176
475	4	3	12	36	108	324
525	1	4	4	16	64	256
			∑=2	∑=216	∑=32	∑=1452

Непосредственный подсчет необходимых числовых характеристик

В условных вариантах В исходных вариантах

Этап II.

3. Вычисление теоретических частот рекомендуется выполнять в виде таблицы. Затем, что

Таблица №2

xi	mi
125	1	-201	-2,72	0.0099	0,67	0,7
175	3	-151	-2,05	0,0488	3,31	3,3
225	10	-101	-1,37	0,1561	10,58	10,6
275	20	-51	-0,69	0,3144	21,31	21,3
325	33	-1	-0,04	0,3986	27,01	27,0
375	17	49	0,66	0,3209	21,75	21,8
425	11	99	1,34	0,1626	11,02	11,0
475	4	149	2,02	0,0519	3,52	3,5
525	1	199	2,70	0.0104	0,70	0,7
						∑=100

4. Вычислить наблюдаемого значения рекомендуется выполнять в виде таблицы.

Таблица №3

mi
1	0,7	0,3	0,09	0,13
3	3,3	-0,3	0,09	0,03
10	10,6	-0,6	0,36	0,03
20	21,3	-1,3	1,69	0,08
33	27,0	3,0	9,00	0,33
17	21,8	-4,8	23,04	1,06
11	11,0	0,0	0,00	0,00
4	3,5	0,5	0,25	0,07
1	0,70	0,3	0,09	0,18
				∑=1,91

= 1,91

5.k = 9-3 =6

6. Для нахождения табличного значения зададимся уровнем значимости =0,05, (0,05;6)=12,6

7. Сравним и 1,91<12,6, т.к., > то эмпирические данные не противоречат предположению о нормальном их распределении принимается на уровне значимости 0,05.

8. Для применения критерия Романовского подсчитаем величину выражения

9. Так как 1,18 < 3, то гипотеза о нормальном законе принимается.

10. Для применения критерия Ястремского подсчитаем величину

11. Так как 0,5 < 3, то гипотеза о нормальном законе распределения принимается.

12, 13. Чтобы применить критерий Колмогорова, необходимо подсчитать величину D. Для подсчета накопленных частот и разности между ними составим таблицу.

Таблица №4

125	1	0,7	1	0,7	0,3	0,3
175	3	3,3	1+3=4	0,7+3,3=4,0	0,0	0,0
225	10	10,6	4+10=14	4,0+10,6=14,6	-0,6	0,6
275	20	21,3	14+20=34	14,6+21,3=35,9	-1,9	1,9
325	33	27,0	34+33=67	35,9+27,0=62,9	4,1	4,1
375	17	21,8	67+17=84	62,9+21,8=84,7	0,7	0,7
425	11	11,0	84+11=95	84,7+11,0=95,7	-0,7	0,7
475	4	3,5	95+44=99	95,7+3,5=99,2	-0,2	0,2
525	1	0,7	99+1=100	99,2+0,7=99,9	-0,1	0,1

14.

15.

16. По специальной таблице находим

17. Так как 0,9972>0,05, то гипотезу о нормальном законе распределения следует принять.

Этап III.

18. Приближенная проверка с использованием

19. Вычисление границ

326 + 22,13 → ]303,87; 348,13[

326 + 51,65 → ]274,35; 377,65[

326 + 81,16 → ]244,84; 407,16[

326 + 221,34 → ]104,66; 547,34[

20. Подсчитаем число значений попавших в последний интервал , остальные вычисления сделать самостоятельно.

21. Сравниваем ]104,66; 547,34[ с диапазоном всех возможных значений x_i, которые, как видно из вариационного ряда, составляет ]125; 525[. Данный промежуток значения полностью укладывается в ]104,66; 547,34[ т.е. .

Остальные отношения проверить самостоятельно. Далее делать самостоятельно вывод (за пояснениями обратиться к §1.1)

22. Приближенная проверка с использованием a_s и e_k.

23. Подсчитаем несмещенные оценки.

24. Вычислим средние квадратические отклонения ,

;

25. Проверим выполнимость условий.

|0,09| ≤ 3 ∙ 0,24

|0,13| ≤ 5 ∙ 0,23

Вывод. Изучаемое эмпирическое распределение скорее всего подчиняется нормальному закону распределения.

Графическая проверка.

26. Перейдем от дискретного вариационного ряда к интервальному, учитывая, что данные значения вариант есть середины интервалов, длины которых равны h=50.

xi	125	175	225	275	225	375	425	475	525
mi	1	3	10	20	33	17	11	4	1

100-150	150-200	200-250	250-300	300-350	350-400	400-450	450-500	500-550
1	3	10	20	33	17	11	4	1

27.28.29. Составим расчетную таблицу, для подсчета накопленных частот и нахождения квантилей.

i	xi	mi
1	150	1	1	0,01	1	-2,326
2	200	3	4	0,04	4	-1,751
3	250	10	14	0,14	14	-1,080
4	300	20	34	0,34	34	-0,412
5	350	33	67	0,67	67	0,440
6	400	17	84	0,84	84	0,994
7	450	11	95	0,95	95	1,645
8	500	4	99	0,99	99	2,054
9	550	1	100	1,00	100	3,00

30. В прямоугольной системе координат построим точки с координатами : (150; -2,326), (200; -1,751), (250; -1,080), (300; -0,412), (350; 0,440), (400; 0,994), (450; 1,645), (500; 2,054), (550;3,090)

Вывод: так как точки располагаются вблизи некоторой прямой, то есть основания предполагать, что эмпирическое распределение подчиняется нормальному закону.

Этап IV

31. Чтобы наглядно убедиться о величине расхождений построим соответствующие графики.

Замечание: точки теоретического распределения соединены плавной линией, эмпирического – ломаной.

: (125;1), (175;3), (225;10), (275;20), (325;33), (375;17), (425;11), (525;1), (475;4)

: (125;1), (175;3), (225;11), (275;21), (325;27), (375;22), (425;11), (475;3), (525;1)

За приняты приближенные значения.