- •6.040103 – «Геологія»
- •1 Кінематика
- •1.1 Кінематика матеріальної точки
- •Система відліку
- •1.1.2 Матеріальна точка. Способи опису руху матеріальної точки
- •1.1.3 Рівномірний рух. Швидкість рівномірного руху
- •1.1.4 Нерівномірний рух. Середня швидкість. Миттєва швидкість
- •1.1.5 Рівнозміний рух. Прискорення. Змінний рух. Миттєве прискорення
- •1.1.6 Прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення
- •Абсолютно тверде тіло та число ступенів його свободи
- •1.3 Кінематика обертального руху твердого тіла
- •1.3.1 Обертальний рух твердого тіла відносно нерухомої вісі обертання. Вектор кутового переміщення. Кутова швидкість. Кутове прискорення.
- •1.3.2. Зв'язок між кутовими і лінійними кінематичними величинами обертального руху
- •1.4 Кінематика відносного руху. Переносне прискорення. Прискорення каріоліса
- •1. Чим більша відстань від центра обертання, тим більша лінійна швидкість обертання. Тобто, маємо зміну швидкості, викликану лише переміщенням точок .
- •1.5 Короткий зміст основних питань кінематики
- •4. Способи опису руху матеріальної точки:
- •6. Миттєва швидкість
- •7. Рівнозмінний рух. Прискорення.
- •8. Змінний рух. Середнє прискорення. Миттєве прискорення.
- •9. Прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення.
- •10. Поступальний рух тіла.
- •11. Обертальний рух тіла.
- •16. Кутове прискорення.
- •17. Зв'язок між лінійними і кутовими кінематичними величинами обертового руху.
- •3. Одна пряма рухається паралельно сама собі з швидкістю v1, а друга – зі швидкістю v2.. Питання: з якою швидкістю v3 рухається точка перетину цих прямих?
- •2.Задачі на рівно змінний рух
- •1. Автомобіль проходить гальмівний шлях 20 м. Визначити час руху автомобіля до зупинки та модуль прискорення, якщо початкова швидкість 54 км/.
- •3. Град, падаючи з хмари за останню секунду свого падіння пролітає шлях, що становить 0,19 всієї висоти. Визначити час падіння та висоту, з якає падає град. Опором повітря нехтувати.
- •3 Рух тіла, кинутого горизонтально
- •4 Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту
- •5.Задачі на середню і миттєву швидкість та миттєве прискорення
- •2. Першу половину часу автомобіль рухався з швидкістю 60 км/год, а другу половину часу з швидкістю 40 км/год. Визначити середню швидкість протягом всього часу.
- •3. Першу половину шляху автомобіль рухався з швидкістю 60 км/год, а другу половину шляху з швидкістю 40 км/год. Визначити середню швидкість протягом всього часу.
- •6.Задачі кінематики обертального руху
- •1. Колесо починає обертатись зі стану спокою і, зробивши 100 обертів, досягає кутової швидкості 62,8 рад/с. Вважаючи рух рівноприскореним, визначити час та кутове прискорення даного обертового руху.
- •4. У вибраній системі відліку з декартовими координатами кінематичні рівняння матеріальної точки мають наступний вигляд:
- •5. Задача-тест.
- •1.7 Контрольні питання з кінематики
- •2 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони ньютона. Сили в механіці. Гравітація
- •2.1 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони Ньютона
- •2.2 Сили в природі. Сили в механіці
- •2.2.1 Сили тертя
- •2.2.2 Сили пружності
- •2.3 Гравітація
- •2.3.1 Закони Кеплера. Закон Всесвітнього тяжіння
- •3. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих піввісей їх орбіт:
- •2.3.2 Експериментальне визначення гравітаційної сталої. Дослід Кавендиша
- •2.3.3 Гравітаційна взаємодія тіл довільної форми
- •4 Гравітаційне поле. Напруженість гравітаційного поля
- •5 Елементи теорії векторного поля. Теорема Остроградського-Гауса
- •6 Гравітаційне поле Землі (поле тіла сферичної форми)
- •7 Аномалії гравітаційного поля Землі. Поняття про гравітаційну
- •2.4 Рух тіл в полі тяжіння. Вага тіла. Невагомість. Штучні супутники
- •2.4.1 Вага тіла
- •2.4.2 Рух тіла у полі тяжіння у вертикальному напрямі. Перевантаження. Невагомість
- •2.4.3 Криволінійний рух тіла у полі тяжіння
- •2.4. 4 Вплив обертання Землі на вагу тіл
- •1 Тіло на полюсі
- •2 Тіло на екваторі
- •3 Тіло на довільній широті
- •5 Штучні супутники Землі
- •2.6 Короткий зміст основних питань динаміки
- •3. Сили в природі. Сили в механіці.
- •4. Сили тертя.
- •5. Сили пружності.
- •6. Закони Кеплера.
- •Планети рухаються по еліпсах, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце (рис.2.4.2).
- •7. Закон Всесвітнього тяжіння
- •8. Експериментальне визначення гравітаційної сталої. Дослід Кавендиша.
- •9. Гравітаційна взаємодія тіл довільної форми
- •10. Гравітаційне поле
- •10. Вага тіла
- •1. Потік вектора
- •2.7 Приклади розвязування задач
- •1. Рух тіла в горизонтальному напрямі під дією декількох сил
- •2. Дано:
- •5. Рух тіла під дією змінної сили.
- •6. Рух тіла по похилій площині
- •7. Динаміка руху тіла по колу
- •Випадок руху тіла по колу у вертикальній площині – рух тіла на нитці.
- •10. Який період обертання у горизонтальній площині тіла, підвішеного на нитці довжиною l, якщо нитка утворює з вертикаллю кут α?
- •8. Закон всесвітнього тяжіння. Гравітаційне поле
- •1 Визначити силу притягання між тонким кільцем радіуса r і масою м та матеріальною точкою масою m, яка знаходиться на відстані l від центра кільця.
- •2. Матеріальна точка масою m знаходиться на віддалі a від нескінченно довгої тонкої нитки з лінійною густиною . Визначити силу, з якою притягаються така нитка і тіло точкової маси.
- •2.7 Контрольні питання з динаміки
- •3. Закони збереження в механіці
- •3.1 Закон збереження імпульсу
- •3.2 Центр мас. Теорема про рух центра мас
- •3.3 Реактивний рух
- •3.4 Реактивний рух в природі. Живі ракети
- •3.5 Робота сталої і змінної сил. Потужність
- •3.6 Енергія. Загальний підхід до поняття енергії
- •3.7 Кінетична енергія матеріальної точки (тіла) при поступальному русі
- •3.8 Робота сил тяжіння. Потенціальна енергія тіла в полі тяжіння
- •3.9 Закон збереження енергії в механіці
- •3.10 Застосування законів збереження до співудару двох тіл
- •3.11 Основні напрями альтернативної енергетики
- •1. Вітроенергетика
- •2. Геліоенергетика
- •3. Геотермальна енергетика
- •1. Вітроенергетика
- •2. Альтернативна гідроенергетика
- •3.12 Короткий зміст основних питань законів збереження в механіці
- •1. Закон збереження імпульсу
- •2. Центр мас. Теорема про рух центра мас
- •3. Реактивний рух
- •4. Робота сталої і змінної сил. Потужність
- •5. Енергія. Кінетична і потенціальна енергія
- •6. Закон збереження енергії в механіці.
- •3.13 Приклади розв’язування задач
- •1. Імпульс. Закон збереження імпульсу
- •1. М’ячик масою 200 г вільно падає з висоти 5м на горизонтальну поверхню. Вважаючи удар абсолютно пружним, визначити зміну імпульсу при такому ударі (рис.3.13.1).
- •3. Два тіла рухаються назустріч одне одному з швидкостями . Після абсолютно непружного удару ці тіла стали рухатись разом з швидкістю . Визначити відношення мас цих тіл.
- •4. З самохідної гарматної установки загальною масою 8 т вистрілюють снаряд масою 5 кг зі швидкістю 1200 м∕ с під кутом 600 до горизонту. Визначити швидкість віддачі установки.
- •3.14 Контрольні питання
- •4 Динаміка обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання
- •4.1 Кінетична енергія обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання. Момент інерції тіла
- •4.2 Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання
- •4.3 Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу
- •4.4 Моменти інерції різних тіл. Теорема Штейнера
- •3. Момент інерції однорідного диска або циліндра
- •4. Момент інерції конуса
- •5. Момент інерції однорідної суцільної кулі
- •6. Момент інерції тонкостінної сфери
- •4.5 Вільні осі обертання тіла. Головні осі інерції тіла. Головні моменти інерції тіла. Поняття про тензор моменту інерції тіла
- •4.6 Гіроскопічний ефект. Прецесія гіроскопа
- •4.7 Застосування гіроскопів та гіроскопічних ефектів
- •4.8 Короткий зміст основних питань динаміки обертового руху твердого тіла
- •Кінетична енергія обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання. Момент інерції тіла
- •Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла
- •3. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу
- •4. Моменти інерції різних тіл. Теорема Штейнера
- •5. Вільні осі обертання тіла. Головні осі інерції тіла. Головні моменти інерції тіла. Поняття про тензор моменту інерції тіла
- •Гіроскопічний ефект. Прецесія гіроскопа
- •Застосування гіроскопів та гіроскопічних ефектів
- •4.9 Приклади розв’язування задач
- •2. Перевірка основного рівняння динаміки обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання.
- •5.2 Рівняння Бернуллі
- •5.3 Наслідки з рівняння Бернуллі
- •5.3.1 Швидкість витікання рідини через невеликий отвір
- •5.3.2 Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії
- •5.3.3 Застосування наслідків з рівняння Бернуллі в техніці
- •5.4 Внутрішнє тертя в рідинах і газах (в’язкість)
- •5.5 Течія Пуазейля. Формула Пуазейля
- •5.6 Ламінарний та турбулентний режим течії. Числа Рейнольда. Рух тіл в рідинах і газах
- •5.7 Елементи реології
- •1. Ньютонівські та неньютонівські системи
- •2 Експериментальні методи вивчення в’язкості
- •2. Ротаційні віскозиметри
- •3 Метод Стокса
- •5.8 Короткий зміст основних питань механіки рідин і газів
- •8. Наслідки з рівняння Бернуллі.
- •2. Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії.
- •3. Застосування наслідків з рівняння Бернуллі в техніці.
- •4. Природні явища, де мають місце наслідки з рівняння Бернуллі.
- •9. Внутрішнє тертя в рідинах і газах (в’язкість).
- •10. Течія Пуазейля. Формула Пуазейля.
- •11. Ламінарний та турбулентний режим течії. Числа Рейнольда. Рух тіл в рідинах і газах
- •12. Елементи реології.
- •1. Ньютонівські та неньютонівські системи.
- •Експериментальні методи вивчення в’язкості
- •1. Капілярні віскозиметри
- •2. Ротаційні віскозиметри
- •3. Метод Стокса
- •5.9 Приклади розв’язування задач
- •1. Швидкість течії води у широкій частині труби дорівнює 20 см ∕с. Яка швидкість течії у вузькій частині, що має діаметр у 4 рази менший від діаметра широкої частини?
- •2 . З отвору площею поперечного перерізу зі швидкістю у вертикальному напрямі витікає струмина рідин. Якою буде площа поперечного перерізу струмини на висоті ?
- •6 Механічні властивості твердих тіл
- •6.1 Основні види пружних деформацій твердого тіла
- •1. Одностороння деформація розтягу (стиснення).
- •2. Деформація зсуву.
- •3. Деформація кручення.
- •4. Деформація прогину.
- •5. Деформація стиснення (або розтягу).
- •6.2 Твердість тіл
2.4.3 Криволінійний рух тіла у полі тяжіння
П ри криволінійному русі матеріальної точки (поки обертовий рух тіла не розглядаємо) завжди існує нормальне прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямом. Якщо є прискорення, то, згідно другого закону Ньютона, повинна бути сила, яка відповідає за це прискорення. Для закону Ньютона немає значення – яке це прискорення – нормальне, тангенціальне чи повне. Так ось, розглянемо найпростіший випадок руху тіла по колу на прикладі автомобіля масою m, що рухається з швидкістю v по опуклому мосту радіуса r (рис.2.4.6). Будемо вважати автомобіль матеріальною точкою, яка знаходиться у верхній точці моста. На автомобіль діє сила тяжіння та реакція опори , і рівнодійна цих сил надає автомобілю нормального прискорення . Тоді другий закон Ньютона у векторній формі прийме вигляд
, (2.4.9)
Або, переходячи до проекцій, будемо мати
. (2.4.10)
Звідки реакція опори дорівнює
. (2.4.11)
Тобто, реакція опори, а, значить і вага тіла, зменшується. Наприклад, автомобіль масою 2000 кг рухається з швидкістю 15 м ∕с по випуклому мосту радіуса 45 м. При цьому нормальне прискорення становить і для «забезпечення» такого прискорення потрібна сила . В «наявності» є сила . Отже, від цих 20000Н для «забезпечення» нормального (доцентрового) прискорення автомобіль «забирає» так необхідні 10000 Н і тисне вже на міст не з силою 20000Н, а з силою 10000Н. А якщо збільшити швидкість так, щоб нормальне (доцентрове) прискорення стало рівним прискоренню вільного падіння, то наступає невагомість – реакція опори дорівнює нулю, колеса автомобіля вже не тиснуть на міст. Все що могла «дати» Земля, «всі », віддані автомобілю на нормальне прискорення. Нічогісінько не лишається, щоб його колеса тиснули на міст – наступає невагомість, і навіть у верхній точці міст не буде потрібен. Бачили, як у бойовиках, коли автомобіль встигає перелетіти через найвищу точку моста, який розводиться, в останню мить – видовище неймовірне.
А тепер той самий автомобіль рухається з швидкістю 15 м ∕с по ввігнутому мосту радіуса 45 м (рис.2.4.7). Як і в попередньому випадку, нормальне (доцентрове) прискорення буде становити 5м/с2 і потрібна сила 10000 Н для надання такого прискорення.
Тут вже земне тяжіння каже автомобілю – нічим зарадити не можу, адже я маю зовсім протилежний напрям, проси у моста, на якому ти знаходишся. Що «робить» вгнутий міст? Ці «недостаючі ньютони» дає міст, тепер він тисне вгору на автомобіль з силою 20000Н + 10000 Н=30000Н. Вага автомобіля і все те, що є в ньому, збільшиться. Ви запитаєте – а які енергетичні затрати на таке збільшення? А ніяких затрат. Напрям цих 10000Н перпендикулярний переміщенню і робота такої сили дорівнює нулю.
Особливий випадок – це відомий рух тіла з «нахилом», мотоцикліст чи велосипедист, рухаючись по колу, відхиляються від вертикального напряму (рис 2.4.8). При даній швидкості v та радіусу кола, при якій рухається мотоцикл масою m необхідна сила , яка б надавала нормального прискорення. Тут сила тяжіння mg, хоча б як ми того не хотіли, не може брати на себе роль цієї сили, адже вона напрямлена перпендикулярно до напряму руху тіла. Те саме стосується реакцієї опори N, яка теж перпендикулярна до швидкості. Єдина сила, що змушує рухатись мотоцикл по колу – це сила тертя Fтр – спробуйте на слизькій дорозі на швидкості описати віраж: вас «занесе». Всі ці вектори сил вказані на позиції А рисунку 2.4.8.
Дорога тисне на мотоцикл вгору з силою N – це реакція опори, і з силою – ц е сила тертя, яка напрямлена до центра кривизни траєкторії руху мотоцикла. Ці сили прикладені до одного і того ж тіла – мотоцикла (як вказано на позиції Б рис2.4.8) в точці М 1 і рівнодійна цих сил (правило паралелограма) визначає результуючу реакцію опори Q.
Якщо рівнодійна сил з боку дороги на мотоцикл дорівнює Q, то мотоцикл з такою ж силою діє вже не перпендикулярно до дороги, а під деяким кутом, з силою Р, яка є ї є вгаю тіла. З векторного трикутника легко визначити кут, на який нахиляється мотоцикл
.(2.4.12)
Наприклад, при швидкості 100 км/год (це майже 28 м/с) та при радіусі віража 50 м, мотоцикліст буде нахилений до дороги під кутом 320. При більших швидкостях мотоцикліст майже торкається дороги, що ви не раз спостерігали на мотогонках. Для того, щоб на великій швидкості мотоцикл на повороті не «занесло», трасу на крутих поворотах роблять з відповідним нахилом. Наприклад, нахил велотреку (кут α) розраховується так, щоб при даній швидкості реакція опори N була перпендикулярна до поверхні велотреку, як вказано на рис.2.4.9.
В дорожньому будівництві теж враховують необхідність умови перпендикулярності реакції опори до її поверхні і тому на поворотах, як ви бачили, дорога має відповідний нахил. Так само, зовнішню рейку залізниці на поворотах дещо піднято над внутрішньою. При цьому колеса поїзда діють перпендикулярно до рейок.
В окремих випадках збільшення ваги тіла, тобто перевантаження, стає корисними, і для цього використовують спеціальні пристрої, які називаються центрифугами. Центрифуга – від латиського centrum - центр і fugo - втікати – влучна назва: центрифуга – такий прилад, при обертанні якого тіла «втікають» від центра обертання. З простими центрифугами ми стикаємось навіть у побуті. Наприклад, пральна машина: при обертанні барабана вода від мокрої білизни «втікає», стає настільки «важкою, що тканина не може «втримати» воду. В техніці такий метод розділення неоднорідної системи називається центрифугування. При підготовці космонавтів використовують спеціальні центрифуги, в яких космонавти зазнають значних перевантажень. Так, на рис.2.4.10 показано центрифугу ЦФ-7, яка знаходиться в центрі підготовки космонавтів в Росії. Така центрифуга забезпечує двадцятикратне перевантаження.