- •6.040103 – «Геологія»
- •1 Кінематика
- •1.1 Кінематика матеріальної точки
- •Система відліку
- •1.1.2 Матеріальна точка. Способи опису руху матеріальної точки
- •1.1.3 Рівномірний рух. Швидкість рівномірного руху
- •1.1.4 Нерівномірний рух. Середня швидкість. Миттєва швидкість
- •1.1.5 Рівнозміний рух. Прискорення. Змінний рух. Миттєве прискорення
- •1.1.6 Прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення
- •Абсолютно тверде тіло та число ступенів його свободи
- •1.3 Кінематика обертального руху твердого тіла
- •1.3.1 Обертальний рух твердого тіла відносно нерухомої вісі обертання. Вектор кутового переміщення. Кутова швидкість. Кутове прискорення.
- •1.3.2. Зв'язок між кутовими і лінійними кінематичними величинами обертального руху
- •1.4 Кінематика відносного руху. Переносне прискорення. Прискорення каріоліса
- •1. Чим більша відстань від центра обертання, тим більша лінійна швидкість обертання. Тобто, маємо зміну швидкості, викликану лише переміщенням точок .
- •1.5 Короткий зміст основних питань кінематики
- •4. Способи опису руху матеріальної точки:
- •6. Миттєва швидкість
- •7. Рівнозмінний рух. Прискорення.
- •8. Змінний рух. Середнє прискорення. Миттєве прискорення.
- •9. Прискорення при криволінійному русі. Нормальне і тангенціальне прискорення.
- •10. Поступальний рух тіла.
- •11. Обертальний рух тіла.
- •16. Кутове прискорення.
- •17. Зв'язок між лінійними і кутовими кінематичними величинами обертового руху.
- •3. Одна пряма рухається паралельно сама собі з швидкістю v1, а друга – зі швидкістю v2.. Питання: з якою швидкістю v3 рухається точка перетину цих прямих?
- •2.Задачі на рівно змінний рух
- •1. Автомобіль проходить гальмівний шлях 20 м. Визначити час руху автомобіля до зупинки та модуль прискорення, якщо початкова швидкість 54 км/.
- •3. Град, падаючи з хмари за останню секунду свого падіння пролітає шлях, що становить 0,19 всієї висоти. Визначити час падіння та висоту, з якає падає град. Опором повітря нехтувати.
- •3 Рух тіла, кинутого горизонтально
- •4 Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту
- •5.Задачі на середню і миттєву швидкість та миттєве прискорення
- •2. Першу половину часу автомобіль рухався з швидкістю 60 км/год, а другу половину часу з швидкістю 40 км/год. Визначити середню швидкість протягом всього часу.
- •3. Першу половину шляху автомобіль рухався з швидкістю 60 км/год, а другу половину шляху з швидкістю 40 км/год. Визначити середню швидкість протягом всього часу.
- •6.Задачі кінематики обертального руху
- •1. Колесо починає обертатись зі стану спокою і, зробивши 100 обертів, досягає кутової швидкості 62,8 рад/с. Вважаючи рух рівноприскореним, визначити час та кутове прискорення даного обертового руху.
- •4. У вибраній системі відліку з декартовими координатами кінематичні рівняння матеріальної точки мають наступний вигляд:
- •5. Задача-тест.
- •1.7 Контрольні питання з кінематики
- •2 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони ньютона. Сили в механіці. Гравітація
- •2.1 Динаміка матеріальної точки (тіла) при поступальному русі. Закони Ньютона
- •2.2 Сили в природі. Сили в механіці
- •2.2.1 Сили тертя
- •2.2.2 Сили пружності
- •2.3 Гравітація
- •2.3.1 Закони Кеплера. Закон Всесвітнього тяжіння
- •3. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби великих піввісей їх орбіт:
- •2.3.2 Експериментальне визначення гравітаційної сталої. Дослід Кавендиша
- •2.3.3 Гравітаційна взаємодія тіл довільної форми
- •4 Гравітаційне поле. Напруженість гравітаційного поля
- •5 Елементи теорії векторного поля. Теорема Остроградського-Гауса
- •6 Гравітаційне поле Землі (поле тіла сферичної форми)
- •7 Аномалії гравітаційного поля Землі. Поняття про гравітаційну
- •2.4 Рух тіл в полі тяжіння. Вага тіла. Невагомість. Штучні супутники
- •2.4.1 Вага тіла
- •2.4.2 Рух тіла у полі тяжіння у вертикальному напрямі. Перевантаження. Невагомість
- •2.4.3 Криволінійний рух тіла у полі тяжіння
- •2.4. 4 Вплив обертання Землі на вагу тіл
- •1 Тіло на полюсі
- •2 Тіло на екваторі
- •3 Тіло на довільній широті
- •5 Штучні супутники Землі
- •2.6 Короткий зміст основних питань динаміки
- •3. Сили в природі. Сили в механіці.
- •4. Сили тертя.
- •5. Сили пружності.
- •6. Закони Кеплера.
- •Планети рухаються по еліпсах, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце (рис.2.4.2).
- •7. Закон Всесвітнього тяжіння
- •8. Експериментальне визначення гравітаційної сталої. Дослід Кавендиша.
- •9. Гравітаційна взаємодія тіл довільної форми
- •10. Гравітаційне поле
- •10. Вага тіла
- •1. Потік вектора
- •2.7 Приклади розвязування задач
- •1. Рух тіла в горизонтальному напрямі під дією декількох сил
- •2. Дано:
- •5. Рух тіла під дією змінної сили.
- •6. Рух тіла по похилій площині
- •7. Динаміка руху тіла по колу
- •Випадок руху тіла по колу у вертикальній площині – рух тіла на нитці.
- •10. Який період обертання у горизонтальній площині тіла, підвішеного на нитці довжиною l, якщо нитка утворює з вертикаллю кут α?
- •8. Закон всесвітнього тяжіння. Гравітаційне поле
- •1 Визначити силу притягання між тонким кільцем радіуса r і масою м та матеріальною точкою масою m, яка знаходиться на відстані l від центра кільця.
- •2. Матеріальна точка масою m знаходиться на віддалі a від нескінченно довгої тонкої нитки з лінійною густиною . Визначити силу, з якою притягаються така нитка і тіло точкової маси.
- •2.7 Контрольні питання з динаміки
- •3. Закони збереження в механіці
- •3.1 Закон збереження імпульсу
- •3.2 Центр мас. Теорема про рух центра мас
- •3.3 Реактивний рух
- •3.4 Реактивний рух в природі. Живі ракети
- •3.5 Робота сталої і змінної сил. Потужність
- •3.6 Енергія. Загальний підхід до поняття енергії
- •3.7 Кінетична енергія матеріальної точки (тіла) при поступальному русі
- •3.8 Робота сил тяжіння. Потенціальна енергія тіла в полі тяжіння
- •3.9 Закон збереження енергії в механіці
- •3.10 Застосування законів збереження до співудару двох тіл
- •3.11 Основні напрями альтернативної енергетики
- •1. Вітроенергетика
- •2. Геліоенергетика
- •3. Геотермальна енергетика
- •1. Вітроенергетика
- •2. Альтернативна гідроенергетика
- •3.12 Короткий зміст основних питань законів збереження в механіці
- •1. Закон збереження імпульсу
- •2. Центр мас. Теорема про рух центра мас
- •3. Реактивний рух
- •4. Робота сталої і змінної сил. Потужність
- •5. Енергія. Кінетична і потенціальна енергія
- •6. Закон збереження енергії в механіці.
- •3.13 Приклади розв’язування задач
- •1. Імпульс. Закон збереження імпульсу
- •1. М’ячик масою 200 г вільно падає з висоти 5м на горизонтальну поверхню. Вважаючи удар абсолютно пружним, визначити зміну імпульсу при такому ударі (рис.3.13.1).
- •3. Два тіла рухаються назустріч одне одному з швидкостями . Після абсолютно непружного удару ці тіла стали рухатись разом з швидкістю . Визначити відношення мас цих тіл.
- •4. З самохідної гарматної установки загальною масою 8 т вистрілюють снаряд масою 5 кг зі швидкістю 1200 м∕ с під кутом 600 до горизонту. Визначити швидкість віддачі установки.
- •3.14 Контрольні питання
- •4 Динаміка обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання
- •4.1 Кінетична енергія обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання. Момент інерції тіла
- •4.2 Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання
- •4.3 Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу
- •4.4 Моменти інерції різних тіл. Теорема Штейнера
- •3. Момент інерції однорідного диска або циліндра
- •4. Момент інерції конуса
- •5. Момент інерції однорідної суцільної кулі
- •6. Момент інерції тонкостінної сфери
- •4.5 Вільні осі обертання тіла. Головні осі інерції тіла. Головні моменти інерції тіла. Поняття про тензор моменту інерції тіла
- •4.6 Гіроскопічний ефект. Прецесія гіроскопа
- •4.7 Застосування гіроскопів та гіроскопічних ефектів
- •4.8 Короткий зміст основних питань динаміки обертового руху твердого тіла
- •Кінетична енергія обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання. Момент інерції тіла
- •Основне рівняння динаміки обертового руху твердого тіла
- •3. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу
- •4. Моменти інерції різних тіл. Теорема Штейнера
- •5. Вільні осі обертання тіла. Головні осі інерції тіла. Головні моменти інерції тіла. Поняття про тензор моменту інерції тіла
- •Гіроскопічний ефект. Прецесія гіроскопа
- •Застосування гіроскопів та гіроскопічних ефектів
- •4.9 Приклади розв’язування задач
- •2. Перевірка основного рівняння динаміки обертового руху твердого тіла відносно нерухомої осі обертання.
- •5.2 Рівняння Бернуллі
- •5.3 Наслідки з рівняння Бернуллі
- •5.3.1 Швидкість витікання рідини через невеликий отвір
- •5.3.2 Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії
- •5.3.3 Застосування наслідків з рівняння Бернуллі в техніці
- •5.4 Внутрішнє тертя в рідинах і газах (в’язкість)
- •5.5 Течія Пуазейля. Формула Пуазейля
- •5.6 Ламінарний та турбулентний режим течії. Числа Рейнольда. Рух тіл в рідинах і газах
- •5.7 Елементи реології
- •1. Ньютонівські та неньютонівські системи
- •2 Експериментальні методи вивчення в’язкості
- •2. Ротаційні віскозиметри
- •3 Метод Стокса
- •5.8 Короткий зміст основних питань механіки рідин і газів
- •8. Наслідки з рівняння Бернуллі.
- •2. Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії.
- •3. Застосування наслідків з рівняння Бернуллі в техніці.
- •4. Природні явища, де мають місце наслідки з рівняння Бернуллі.
- •9. Внутрішнє тертя в рідинах і газах (в’язкість).
- •10. Течія Пуазейля. Формула Пуазейля.
- •11. Ламінарний та турбулентний режим течії. Числа Рейнольда. Рух тіл в рідинах і газах
- •12. Елементи реології.
- •1. Ньютонівські та неньютонівські системи.
- •Експериментальні методи вивчення в’язкості
- •1. Капілярні віскозиметри
- •2. Ротаційні віскозиметри
- •3. Метод Стокса
- •5.9 Приклади розв’язування задач
- •1. Швидкість течії води у широкій частині труби дорівнює 20 см ∕с. Яка швидкість течії у вузькій частині, що має діаметр у 4 рази менший від діаметра широкої частини?
- •2 . З отвору площею поперечного перерізу зі швидкістю у вертикальному напрямі витікає струмина рідин. Якою буде площа поперечного перерізу струмини на висоті ?
- •6 Механічні властивості твердих тіл
- •6.1 Основні види пружних деформацій твердого тіла
- •1. Одностороння деформація розтягу (стиснення).
- •2. Деформація зсуву.
- •3. Деформація кручення.
- •4. Деформація прогину.
- •5. Деформація стиснення (або розтягу).
- •6.2 Твердість тіл
1 Кінематика
Кінематика (від грецького kinema – рух) – розділ механіки, який вивчає рух тіл, не з’ясовуючи причин цього руху. Основне завдання кінематики – це визначення у просторі положення тіла у будь який момент часу за допомогою відповідних рівнянь, які називаються кінематичними рівняннями, що здійснюється. Причиною руху тіл займається інший розділ механіки – динаміка.
1.1 Кінематика матеріальної точки
Система відліку
Механічний рух завжди відносний. Тому для опису руху даного тіла вибирають відповідну систему відліку, яка дає можливість визначити положення даного тіла в просторі у будь-який момент часу.
Система відліку – це тіла відліку, зв’язана з ними система координат з вказаним початком та годинник в цій системі.
Наприклад, тілом відліку може бути Земля, а система координат – це добре відома система меридіанів і паралель (рис.1.1.1а).
Початкова точка такої системи розміщена на перетині екватору та нульового меридіану. Рішенням міжнародної комісії в 1884 році за нульовий меридіан прийнято меридіан, який проходить буквально по підлозі астрономічної лабораторії в Гринвічі. Фасад будівлі цієї обсерваторії показано на рис.1.1.1б, де видно проведену лінію меридіану. Таким чином, будучи в Гринвічі, однією ногою можна стояти в східній, а другою – в західній півкулі Землі, як бачимо на рис.1.1.1в.
В даний час все більш широкого застосування набувають супутникові системи відліку, де тілами відліку є спеціально виведені на навколоземну орбіту супутники. Прикладом цього є глобальна супутникова система визначення місцезнаходження GPS (Global Position System). Слід відмітити, що такі супутникові системи продовжують удосконалювати. Наприклад, користувачі системи GALILEO можуть визначати свої координати в будь якій точці Землі з точністю 4 м в горизонтальній площині і 8 м у вертикальній.
1.1.2 Матеріальна точка. Способи опису руху матеріальної точки
Матеріальна точка - поняття, яке вводиться в механіці для означення об’єкта, який розглядається як геометрична точка, що має масу. Нагадаємо, точка є одним з основних понять геометрії і означення точки не дається. Точка є геометричним абстрактним об'єктом, що має властивості тільки положення в просторі, але не має жодних інших. Важко розуміти, що точка не є матеріальним об'єктом, це просто місце. На кресленнях точку позначають за допомогою олівця, але це не є геометрична точка, а реальний фізичний об’єкт, який має малі, але все ж таки певні розміри. Часто кажуть, що фізикою є фізика плюс математика, а математикою є тільки математика. Математики, в принципі, можуть і не знати фізики (хоча вони її добре знають), а фізики мусять знати математику. Адже математика – це лаконічна мова фізики. Отже, в окремих задачах механіки особливого значення немає, як рухалась та чи інша частина тіла. Наприклад, поїзд проїхав 200 км. Чи має тут значення, яку відстань пройшов передній чи останній вагони? Звичайно, ні. Рух такого тіла фізик заміняє рухом однієї точки, називаючи її матеріальною. Тобто, чисто абстрактне поняття геометричної точки бере на себе «відповідальність» за опис руху матеріального об’єкта (в нашому прикладі поїзда).
Таким чином, тіло, розмірами якого за даних умов можна знехтувати, називають матеріальною точкою. Питання про те, чи можна дане тіло розглядати як матеріальну точку чи ні, не залежить від розмірів самого тіла, а від умов задачі. Так, навіть розглядаючи обертання Землі навколо Сонця, саму Землю в кінематиці її руху можна вважати матеріальною точкою.
Основне завдання кінематики – визначити положення тіла у просторі в будь який момент часу відносно вибраної системи відліку. Звичайно, що найпростіше визначати положення в просторі матеріальної точки, яке здійснюється такими способами:
– векторний спосіб
Вибирають тіло відліку, з яким зв’язують початок радіуса-вектора рис.1.1.2. Тоді положення матеріальної точки М в просторі визначається кінцем радіуса-вектора . В такому випадку рух точки задається рівнянням залежності радіуса-вектора від часу
. (1.1.1)
– координатний спосіб
З тілами відліку зв’язують системи координат, наприклад, Декартові. Так, на рис 1.1.3 показано міську ратушу Івано-Франківська з годинником, яку вибирають за тіло відліку і з цим тілом зв’язують систему координат, направляючи вісь Z вертикально вгору.
Будемо визначати положення повітряної кулі, вважаючи її матеріальною точкою. Положення кулі у вибраній системі відліку задається такими рівняннями залежності координат від часу:
(1.1.2)
Такі рівняння називаються кінематичними рівняння руху матеріальної точки. Якщо з початком системи відліку зв’язати початок радіуса-вектора, що визначає положення тіла просторі, то цей радіус – вектор (рис.1.1.3) можна визначити через координат точки, а саме
, (1.1.3)
де – одиничні вектори (орти).
– природний спосіб опису руху
Якщо наперед відома траєкторія матеріальної точки, то відкладаючи на цій траєкторії шлях S (відстань), який пройшла ця точка за час t, можна визначити положення точки на цій траєкторії. Такий метод опису руху називається природний. Звичайно, для такого способу опису руху траєкторія руху як лінія, вздовж якої рухається тіло, повинна бути зв’язана з тілами відліку, фіксована в просторі і обов’язково повинен бути вказаний початок відліку (нульова точка). Це, наприклад, може бути навіть стежка в полі, яка починається біля будинку (будинок – початок відліку), річка, по якій пливе човен (пристань – початок відліку), залізнична колія (вокзал – початок відліку), заданий коридор польоту літака (аеропорт – початок відліку) і т.д. Так, на рис.1.1.4 показано ділянку дороги з Судака в Алушту, тобто траєкторія руху автомобілів, як матеріальних точок, де за початок відліку приймаємо Судак. Т оді при такому способі опису руху положення матеріальної точки в просторі (на траєкторії) задається залежністю шляху від часу
. (1.1.4)
На географічних або топографічних картах відповідними лініями позначаються шосейні та залізні дороги, ріки і т.д і це, по суті, траєкторії, по яких рухаються тіла як матеріальні точки. Щоб знайти довжину цих ліній використовують спеціальні пристрої, які називають кривометрами (вимірюють довжину кривої ліній). На рис.1.1.5 показано сучасний електронний кривометр. На кінчику такого приладу знаходиться індикатор переміщення приладу по карті або схемі. Електронна система відслідковує рух приладу і в заданому масштабі на дисплеї самого приладу або комп’ютера подає значення довжини кривої в необхідних одиницях (метрах, кілометрах, милях і т.д.).