5. 3 Матрицы сложных четырехполюсников.

Сложный четырехполюсник может быть образован в результате соединения между собой нескольких, в частности, двух четырехполюсников. Если известны коэффициенты каждого из составляющих четырехполюсников, могут быть рассчитаны коэффициенты результирующего (эквивалентного) четырехполюсника. Этот расчет проще всего производить, оперируя с уравнениями в матричной форме.

Рассмотрим основные соединения четырехполюсников.

а). Наиболее важным соединением четырехполюсников является каскадное соединение, когда выходные зажимы первого четырехполюсника соединяются с входными зажимами второго (рис. 5.3).

При каскадном соединении выходное соединение первого четырехполюсника равно входному соединению второго, а выходной ток первого четырехполюсника равен входному току второго четырехполюсника, т. е.

(5.14)

а) б)

Рис.5.3 Выразим уравнения исходных четырехполюсников через А-коэффициенты

Используя свойства каскадного соединения (5.4), запишем

Таким образом, матрица сложного четырехполюсника (рис.5.3а) равна произведению матриц соединенных четырехполюсников:

(5.15)

б) Последовательное соединение.

Под последовательным соединением понимается такое включение, при котором как входные, так и выходные их зажимы включены последовательно (рис.5.4а).

а) б)

Рис.5.4

Выразим уравнения исходных четырехполюсников через Z-коэффициенты. Тогда получим

(5.16)

(5.17)

Результирующие напряжения и токи на входе и выходе при последовательном соединении будут:

Поэтому, складывая (5.16) и (5.17), получим

(5.18)

Таким образом, при последовательном соединении, т.е. Z-матрица результирующего четырехполюсника (5.4б) равна сумме Z-матриц исходных четырехполюсников. Отсюда следует, что при расчете цепи последовательно соединенных четырехполюсников удобно пользоваться системой Z-коэффициентов.

в) Параллельное соединение.

При последовательном соединении как входные, так и выходные зажимы четырехполюсников соединяются параллельно (рис.5.5а)

а) б)

Рис. 5.5

Используя систему Y=коэффициентов, запишем уравнения исходных четырехполюсников:

(5.19)

(5.20)

Так как в рассматриваемой схеме , , то, складывая (5.19) и (5.20), получим уравнение сложного четырехполюсника (рис. 5.5б):

(5.21)

Отсюда следует, что

При параллельном соединении Y-матрица сложного четырехполюсника равна сумме Y-матриц исходных четырехполюсников.

г) Последовательно-параллельное соединение.

В этом случае входные зажимы исходных четырехполюсников соединяются последовательно, а выходные – параллельно (рис.5.6а)

а) б)

Рис.5.6

Теперь воспользуемся системой h-коэффициентов и запишем уравнения четырехполюсников в виде:

(5.22)

(5.23)

В схеме последовательно-параллельного соединения

.

Поэтому для результирующего четырехполюсника (рис.5.6б) получим

Таким образом

д) Параллельно последовательное соединение.

В рассматриваемой схеме (5.7а) входные зажимы исходных четырехполюсников соединены параллельно, а выходные – последовательно (рис.5.7а).

б)

а)

Рис.5.7

Если в этом случае воспользоваться системой f-коэффициентов, уравнения примут вид

(5.24)

(5.25)

Из схемы на рис.5.6 следует , .

Поэтому, суммируя (5.24) и (5.25), для результирующего четырехполюсника (рис.5.7б) найдем

(5.26)

Таким образом