Глава 5. Теория линейных четырехполюсников.

5.1 Введение

В общей теории четырехполюсников устанавливаются зависимости, справедливые для любого четырехполюсника, независимо от схемы составляющих его элементов. Использование этих зависимостей во многих случаях существенно облегчает и упрощает расчет сложных электрических цепей.

Режим работы четырехполюсника (рис.5.1) полностью определен, если известны напряжения и токи u₁, i_, u₂, i₂.

Рис.5.1

Задача ставится следующим образом. Две из четырех величин, определяющих режим четырехполюсника, известны. Их можно рассматривать как заданные воздействия на цепь. Требуется найти отклики на эти воздействия, т.е. две остальные величины. Для решения поставленной задачи необходимо располагать системой двух уравнений с двумя неизвестными, которые называются основными уравнениями теории четырехполюсников. Возможны шесть вариантов записи основных уравнений четырехполюсников, которые представлены в таблице 5.1

Таблица 5.1

Варианты	1	2	3	4	5	6
Воздействия	,	,	,	,	,	,
Отклики	,	,	,	,	,	,

5.2 Основные уравнения теории четырехполюсников.

А) система y-коэффициентов

Пусть воздействиями являются напряжения, а искомыми (откликами) будут токи. При такой постановке задачи токи представляют собой некоторые функции напряжений т.е.

(5.1)

Соответствующие изменения токов определяются полными дифференциалами:

(5.2)

(5.2а)

Входящие в эти уравнения в качестве коэффициентов частные производные имеют размерность проводимости и называются Y-коэффициентами четырехполюсника.

Введем обозначения:

Тогда уравнения (5.2) и (5.2а) можно переписать так

(5.3)

(5.3а)

Полученные дифференциальные соотношения справедливы при любой форме колебаний и любом виде цепи. Особый интерес представляет рассмотрение случая линейной цепи в режиме гармонических колебаний. В этом случае соотношения (5.3) и (5.3а) записываются для комплексных амплитуд напряжений и токов, т.е.

(5.4)

(5.4а)

Комплексные Y-коэффициенты могут быть определены по результатам двух опытов: 1)при коротком замыкании выхода и при питании четырехполюсника слева (рис.5.2а); 2) при короткозамкнутом входе и при питании четырехполюсника справа (рис.5.2б). Они могут быть определены экспериментально или теоретически рассчитаны по следующим формулам:

.

Систему уравнений (5.4), (5.4а) можно записать в более компактной (матричной) форме:

, (5.5)

где - матрица проводимостей, или Y-матрица.

Для пассивного четырехполюсника, т.е. четырехполюсника, внутри которого нет источников энергии, выполняется соотношение

y₁₂=y₂₁ (5.6)

В симметричном четырехполюснике

y₁₁=y₂₂, (5.7)

т.е. в симметричном пассивном четырехполюснике входная и выходная проводимости равны между собой.

Уравнения, связывающие токи входа и выхода с напряжениями входа и выхода записываются в виде

(5.8)

(5.8а)

Z-коэффициенты определяются из опытов холостого хода на входе и выходе.

Когда четырехполюсник выполняет роль промежуточного звена между источником и сопротивлением нагрузки, заданными величинами часто являются параметры нагрузки а искомыми величины, характеризующие режим на входе четырехполюсника ( ), что соответствует системе уравнений типа А:

(5.9)

(5.9а)

Для рассматриваемой задачи, когда выход четырехполюсника подключен к нагрузке, целесообразно положительные направления напряжений и токов выбрать такими, какие приняты в схеме на рис. 5.2.

Рис. 5.2

Значения каждого из A-коэффициентов определяются из двух опытов: опыта холостого хода выхода (I₂ =0) и опыта короткого замыкания выхода (U₂=0).

Основные уравнения четырехполюсника в А-коэффициентах можно записать в матричной форме

где (5.10)

Когда заданными являются комплексные амплитуды тока на входе и напряжения (вариант 4, табл 5.1), , искомые величины , и могут быть найдены, если выразить основные уравнения четырехполюсника в так называемых h-коэффициентах:

(5.11)

(5.11а)

Значения каждого из h-коэффициентов определяются из двух опытов: короткого замыкания выхода (U₂=0) и холостого хода первичной цепи (I₁=0).

В том случае, когда задаются величины и (вариант 5, табл 5.1), остальные две величины из уравнений

(5.12)

. (5.12а)

Входящие так называемые f-коэффициенты могу быть найдены из двух опытов: холостого хода вторичного тока (I₂=0) и короткого замыкания на входе (U₁=0).

Последний возможный вариант записи основных уравнений четырехполюсника (вариант 6, табл 5.1):

(5.13)

(5.13а)

Значения b-коэффициентов определяются опытами холостого хода входной цепи (I₁=0) и короткого замыкания входа (U₁=0).

Последние три системы уравнений могут быть записаны в матричной форме подобно (5.10).

Выбор того или иного типа уравнений четырехполюсника зависит исключительно от той или иной задачи, которая в данном случае решается. Уравнения типа h, например, часто применяется при рассмотрении схем с транзисторами, так как режим транзистора определяется входным током I₁ и выходным напряжением U₂.

Соотношения между элементами различных матриц даны в таблице5.2. Таблица 5.2.

Из системы→ В систему↓	Z	A	h	f	b
Z
Y
A
h
f
b

Примечание.

.