Физическая модель полета ла

Траектория движения – это линия движения центра массы снаряда (ракеты) от точки вылета из канала ствола огнестрельного оружия или ствола пусковой установки до точки встречи с целью (точки разрыва).

В данном случае будем считать, что запуск ЛА осуществлялся с уровня поверхности Земли (координаты точки пуска x₀=0 и y₀=0) со скоростью v=v₀ под заданным углом пуска к горизонту . Сделаем предположение, что цель ракеты также располагается на поверхности Земли, так что конечная точка траектории будет иметь координаты x_к=0 и y_к=0.

Для упрощения расчетов сделаем следующие допущения:

- все силы, действующие на ракету, приложены к центру ее масс;

- в процессе полета ракета не совершает колебательных и вращательных движений;

- изменениями значений постоянных величин, таких как ускорение свободного падения и плотность воздуха, в зависимости от высоты пренебрегаем (g=const, ρ_в= const);

- участок Земли, над которым происходит движение ЛА будем считать плоским;

- вращением Земли пренебрегаем.

Движение ЛА по траектории можно описать с использованием второго закона Ньютона, устанавливающем взаимосвязь между равнодействующей всех сил , приложенных к телу определенной массы m и ускорением этого тела :

(1).

На ЛА в процессе движения по траектории действуют следующие силы (рисунок 1): создаваемая двигателем сила тяги , направленная по касательной к траектории и совпадающая по направлению с вектором скорости , аэродинамическая сила , направленная по касательной к траектории в направлении, противоположном вектору скорости, и сила тяжести .

Рисунок 1 – Схема сил, действующих на ЛА в произвольный момент времени

Весь процесс движения ЛА можно разделить на два участка: активный (с работающим двигателем) и пассивный (после прекращения работы двигателя).

На активном участке траектории ракета является телом с переменной массой, которая обусловлена выгоранием топлива. Изменение массы характеризуется секундным массовым расходом _,

где - это полная масса топлива, .- время активного участка траектории (при условии полного сгорания топлива).

Следует также помнить, что второй закон Ньютона, записанный в форме , справедлив только для тел с постоянной массой. Использование его для тел, масса которых изменятся, возможно лишь в случаях разбиения всего расчетного времени на интервалы , в течение которых массу тела можно принять постоянной.

Расчет траектории движения ракеты сводится к определению параметров траектории и характеристик ракеты, которые являются функцией от времени. В этом случае уравнение (1) можно записать в виде:

. (2)

Математическая модель полета ла

В соответствии с принятой физической моделью можно представить уравнение (2) в проекциях на оси выбранной системы координат:

. (3)

Сила аэродинамического сопротивления определяется по зависимости

, (4)

где – коэффициент аэродинамического сопротивления;

– площадь миделевого сечения;

– плотность воздуха;

– скорость ЛА.

Сила тяги равна

(5)

Массу тела в каждый конкретный момент времени можно определить по зависимости

, (6)

где – полная масса ракеты с топливом;

– масса топлива;

– время активного участка траектории.

Скорость и ускорение тела в данном случае могут быть определены по зависимостям:

(7)

(8)

Тригонометрические функции угла наклона траектории в каждый момент времени могут быть определены:

Таким образом, с учетом всех принятых допущений система уравнений движения ракеты может быть представлена в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:

(9)